算額（その170）

算額（その170）

岐阜県大垣市西外側町 大垣八幡神社 天保年間
http://ryugen3.sakura.ne.jp/toukou3/wasankibousya.PDF

第29問: 直行するに直線に接し互いに外接する 3 個の等円（赤）を作り，青円と黒円を置く。青円の直径を知って黒円の直径を求めよ。

赤円，青円，黒円の直径をそれぞれ r1, r2, r3 として，更に，青円，黒円の中心の y 座標を y2, y3 として連立方程式を解く。なお，2 個の青円の中心が x 軸になるように座標を定めないと，連立方程式の係数が複雑になり解けないので注意。

using SymPy

@syms r1::positive, r2::positive, r3::positive, y2::positive, y3::positive;

eq1 = (r1 - r3)^2 + y3^2 - (r1 + r3)^2
eq3 = (2r1 - r3)^2 + (sqrt(Sym(3))r1 - y3)^2 - (r1 + r3)^2
eq4 = (r2 - r3)^2 + (y2 - y3)^2 - (r2 + r3)^2
eq5 = (2r1 - r2)^2 + (y2 - sqrt(Sym(3))r1)^2 - (r1 + r2)^2;

res = solve([eq1, eq3, eq4, eq5], (r1, r3, y2, y3))

   1-element Vector{NTuple{4, Sym}}:
    (4*sqrt(2)*r2/9 + r2, -2*sqrt(2)*r2 + 11*r2/3, 4*sqrt(6)*r2/9 + 16*sqrt(3)*r2/9, -49*sqrt(3)*r2*(116/441 - 580*sqrt(2)/441)/58)

黒円の半径は -2*sqrt(2)*r2 + 11*r2/3 である。
つまり，「黒円の半径 = (11 - 6√2)/3 × 青円の半径」である。

-2*sqrt(Sym(2))*r2 + 11*r2/3 |> simplify |> println

   r2*(11 - 6*sqrt(2))/3

using Plots

function circle(ox, oy, r, color=:red; beginangle=0, endangle=360, fill=false)
   θ = beginangle:0.1:endangle
   x = r.*cosd.(θ)
   y = r.*sind.(θ)
   if fill
       plot!(ox .+ x, oy .+ y, linecolor=color, linewidth=0.5, seriestype=:shape, fillcolor=color)
   else
       plot!(ox .+ x, oy .+ y, color=color, linewidth=0.5)
   end
end;

function point(x, y, string="", color=:green, position=:left, vertical=:top; mark=true)
   mark && scatter!([x], [y], color=color, markerstrokewidth=0)
   annotate!(x, y, text(string, 10, position, color, vertical))
end;

function draw(more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 1  # 青円の半径を 1 として,左右反転した図を描く
   (r1, r3, y2, y3) = (4*sqrt(2)*r2/9 + r2, -2*sqrt(2)*r2 + 11*r2/3, 4*sqrt(6)*r2/9 + 16*sqrt(3)*r2/9, -49*sqrt(3)*r2*(116/441 - 580*sqrt(2)/441)/58)
   plot()
   circle(r1, 0, r1, :indianred1, fill=true)
   circle(3r1, 0, r1, :indianred1, fill=true)
   circle(2r1, sqrt(3)r1, r1, :indianred1, fill=true)
   circle(r2, y2, r2, :steelblue1, fill=true)
   circle(r3, y3, r3, :snow4, fill=true)
   hline!([0], color=:black, lw=0.5)
   vline!([0], color=:black, lw=0.5)
   if more == true
       point(r2, y2, "(r2,y2)", :black)
       point(r3, y3, "(r3,y3)", :black)
       point(r1, 0, "r1", :black)
       point(2r1, sqrt(3)r1, "(2r1,√3r1)", :black)
   end
end;