算額（その499）

算額（その499）

埼玉県北本市本宿 天神社 明治24年(1891)

北本デジタルアーカイブズ 北本市史 通史編 近世
https://kdas.jp/detail_display.php?t_cd=1&acc_cd=1&aclc_cd=40&chap=3&hp_page=47&bc_cd=1

正方形内に斜線4本で領域を区切り，甲円 1 個，乙円 4 個を入れる。甲円の直径が 1 寸 8 分のとき，乙円の直径はいかほどか。

この算額は，算額（その204）
https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/698f42011195b818050f5e5bc17ed20e
から最もも小さい円を除いたものである。
算額（その204）では円の中心から斜線までの距離を使って解いたが，もう少し簡単にできる。

正方形の中心を原点とし，正方形の一辺の長さを 2a とする。
甲円の半径と中心座標を r1, (0, 0)
乙円の半径と中心座標を r2, (a/2, a - r2)
として，以下の連立方程式をとき，r2, a を求める（それぞれは r1 を含む式になる）。

「三角函数を援用しなければ解けないかなり高度のもの」という解説があるが，三角関数を使う必要はない。
各円を含む直角三角形と各円の半径を一辺とする直角三角形の相似関係を使えばよい。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive;

eq1 = r1/a - a/sqrt(a^2 + (2a)^2)  # 甲円を含む直角三角形との相似関係
eq2 = r2/(a - r2) - (a/2)/sqrt((a/2)^2 + a^2)  # 乙円を含む直角三角形との相似関係
res = solve([eq1, eq2], (r2, a))

   Dict{Any, Any} with 2 entries:
     a  => sqrt(5)*r1
     r2 => r1*(5 - sqrt(5))/4

甲円の半径を 1.8/2 = 0.9 寸とすれば，乙円の半径は 0.6218847050625473, 直径は 1.2437694101250947 である。
ちなみに，正方形の一辺の長さは 4.024922359499622 である。

2*0.9*(5 - √5)/4, 2(√5*0.9)

   (1.2437694101250947, 4.024922359499622)

using Plots

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = 1.8/2 # 半径が 0.9 寸のとき
   (r2, a) = (r1*(5 - sqrt(5))/4, sqrt(5)*r1)
   @printf("r1 = %g;  r2 = %g;  a = %g\n", r1, r2, a)
   @printf("乙円の直径 = 2r2 = %g\n", 2r2)
   plot([a, a, -a, -a, a], [-a, a, a, -a, -a], color=:black, lw=0.5)
   plot!([-a, 0, a],[  a, -a, a], color=:green, lw=0.5)
   plot!([-a, 0, a],[ -a,  a, -a], color=:green, lw=0.5)
   circle(0, 0, r1)
   circle4(a/2, a - r2, r2, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(0, r1, " r1", :red, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0.5r1, 0.2r1, "甲円:r1,(0,0)", :red, :center, mark=false)
       point(a/2, a - r2, "乙円:r2,(a/2,a-r2)", :blue, :center, delta=-delta)
       point(a/2, 0, " a/2", :black, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, 0, " a", :black, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, a, " a", :black, :left, :bottom, delta=delta/2)
   else
       plot!(showaxis=false)
   end
end;