算額(その363)
山形県寒河江市大字柴橋字台下 伊豆神社
山形算額勝負-湯殿山神社を目指せ-
https://www.sci.yamagata-u.ac.jp/wasan/pdf/20180711SSEP.pdf
直線上に大円,中円,小円が互いに接している。大円,中円の直径をそれぞれ 9 寸,4 寸としたとき,小円の直径を求めよ。
大円の半径と中心座標を r1, (0, r1)
中円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
小円の半径と中心座標を r3, (x3, r3)
として以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, r3::positive, x3::positive;
eq1 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = x3^2 + (r1 - r3)^2 - (r1 + r3)^2
eq3 = (x2 - x3)^2 + (r2 - r3)^2 - (r2 + r3)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (x2, r3, x3))
2-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
(2*sqrt(r1)*sqrt(r2), (-2*r1^(7/2)*r2^(3/2) + 4*r1^(5/2)*r2^(5/2) - 2*r1^(3/2)*r2^(7/2) + r1^4*r2 - r1^3*r2^2 - r1^2*r2^3 + r1*r2^4)/(r1^4 - 4*r1^3*r2 + 6*r1^2*r2^2 - 4*r1*r2^3 + r2^4), (2*r1^(5/2)*sqrt(r2) - 2*r1^(3/2)*r2^(3/2) - 2*r1^2*r2 + 2*r1*r2^2)/(r1^2 - 2*r1*r2 + r2^2))
(2*sqrt(r1)*sqrt(r2), (2*r1^(7/2)*r2^(3/2) - 4*r1^(5/2)*r2^(5/2) + 2*r1^(3/2)*r2^(7/2) + r1^4*r2 - r1^3*r2^2 - r1^2*r2^3 + r1*r2^4)/(r1^4 - 4*r1^3*r2 + 6*r1^2*r2^2 - 4*r1*r2^3 + r2^4), (2*r1^(5/2)*sqrt(r2) - 2*r1^(3/2)*r2^(3/2) + 2*r1^2*r2 - 2*r1*r2^2)/(r1^2 - 2*r1*r2 + r2^2))
最初の組のものが適解である。
r1, r2 が 4.5, 2 のとき,x2 = 6, r3 = 0.72, x3 = 3.6 である。
(r1, r2) = (9, 4) .// 2
(2*sqrt(r1)*sqrt(r2), (-2*r1^(7/2)*r2^(3/2) + 4*r1^(5/2)*r2^(5/2) - 2*r1^(3/2)*r2^(7/2) + r1^4*r2 - r1^3*r2^2 - r1^2*r2^3 + r1*r2^4)/(r1^4 - 4*r1^3*r2 + 6*r1^2*r2^2 - 4*r1*r2^3 + r2^4), (2*r1^(5/2)*sqrt(r2) - 2*r1^(3/2)*r2^(3/2) - 2*r1^2*r2 + 2*r1*r2^2)/(r1^2 - 2*r1*r2 + r2^2))
(6.0, 0.7199999999999942, 3.6)
直線上にあり,互いに接している 2 円間の水平距離については
「和算の心(その002)https://blog.goo.ne.jp/r-de-r/e/eeac1b6f4ed0f7c3a7dfdad299f066b3」
にも記したように,x2 = 2sqrt(r1*r2) = 6 で求めることができる。
2*sqrt(r1*r2)
6.0
直線上にあり,互いに接している 3 円において,この場合の小円の半径については,デカルトの円定理により,1/(1/r1 + 1/r2 + 2sqrt(1/(r1*r2))) = 0.72 で求めることができる。
1/(1/r1 + 1/r2 + 2sqrt(1/(r1*r2)))
0.72
なお,連立方程式の解で r3 は
(-2*r1^(7/2)*r2^(3/2) + 4*r1^(5/2)*r2^(5/2) - 2*r1^(3/2)*r2^(7/2) + r1^4*r2 - r1^3*r2^2 - r1^2*r2^3 + r1*r2^4)/(r1^4 - 4*r1^3*r2 + 6*r1^2*r2^2 - 4*r1*r2^3 + r2^4)
という長い式になっており,SymPy では簡約化されない。
大円と小円の中心の水平距離は x3 = 2sqrt(4.5 * 0.72) = 3.6 である。
2sqrt(4.5 * 0.72)
3.6
r1, r2 を数値として与え連立方程式を解くと以下のようになる。
using SymPy
@syms r1::positive, r2::positive, x2::positive, r3::positive, x3::positive;
(r1, r2) = (9, 4) .// 2
eq1 = x2^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = x3^2 + (r1 - r3)^2 - (r1 + r3)^2
eq3 = (x2 - x3)^2 + (r2 - r3)^2 - (r2 + r3)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (x2, r3, x3))
2-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
(6, 18/25, 18/5)
(6, 18, 18)
(6, 18/25, 18/5)
(6, 0.72, 3.6)
using Plots
function draw(more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(r1, r2) = (9, 4) .// 2
(x2, r3, x3) = (6, 18/25, 18/5)
@printf("x2 = %g; r3 = %g; x3 = %g\n", x2, r3, x3)
plot()
circle(0, r1, r1)
circle(x2, r2, r2, :blue)
circle(x3, r3, r3, :magenta)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
point(0, r1, " 大円:r1,(0,r1)", :red, :left, :vcenter)
point(x2, r2, "中円:r2,(x2,r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
point(x3, r3, "小円:r3,(x3,r3)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
else
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
plot!(showaxis=false)
end
end;
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