算額（その1179）

算額（その1179）

時岡郁夫：趣味の数学問題集
http://i4.gmobb.jp/tokioka/tokioka_mondai/index.html
キーワード：円3個，正方形

A問題 57. 一辺の長さが 1 の正方形の中に大円 2 個，小円 1 個を容れる。3 つの円はそれぞれが正方形の 2 辺に接しており，小円はさらに 2 個の大円にも接している（大円 2 個は交差している）。
3 つの円の中心を結ぶと正三角形になるときの，小円の半径を求めよ。

正方形の一辺の長さを a
大円の半径と中心座標を r1, (a - r1, r1), (r1, a - r1)
小円の半径と中心座標を r2, (r2, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms a::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = (a - r1 - r2)^2 + (r1 - r2)^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = (a - r1 - r2)^2 + (r1 - r2)^2 - 2(a - 2r1)^2
res = solve([eq1, eq2], (r1, r2))[1]  # 1 of 4

   (-(-69*a^3 - 164*a^3*(-3*sqrt(2) - sqrt(3)*sqrt(57 - 40*sqrt(2))/2 + 5)^2 + 8*a^3*(-3*sqrt(2) - sqrt(3)*sqrt(57 - 40*sqrt(2))/2 + 5)^3 + 254*a^3*(-3*sqrt(2) - sqrt(3)*sqrt(57 - 40*sqrt(2))/2 + 5))/(84*a^2), a*(-3*sqrt(2) - sqrt(3)*sqrt(57 - 40*sqrt(2))/2 + 5))

r1 = res[1] |> simplify |> sympy.sqrtdenest |> simplify
r1 |> display
r1 |> println

   a*(-4*sqrt(2) - 2*sqrt(6) + 3*sqrt(3) + 6)/2

r2 = res[2] |> simplify |> sympy.sqrtdenest |> simplify
r2 |> display
r2 |> println

   a*(-4*sqrt(6) - 6*sqrt(2) + 5*sqrt(3) + 10)/2

3 円の中心間距離がすべて等しくなるのは，大円，小円の半径が，正方形の一辺の長さの (-4*sqrt(2) - 2*sqrt(6) + 3*sqrt(3) + 6)/2 倍と (-4*sqrt(6) - 6*sqrt(2) + 5*sqrt(3) + 10)/2 倍のときである。

正方形の一辺の長さが 1 のとき，大円，小円の半径は 0.3201593438239474，0.18850684623655134 である。

2 円の中心間距離は √2(1 - 2r1) = 0.5086661900605006 である。

(-4*sqrt(2) - 2*sqrt(6) + 3*sqrt(3) + 6)/2  # r1

   0.3201593438239474

(-4*sqrt(6) - 6*sqrt(2) + 5*sqrt(3) + 10)/2  # r2

   0.18850684623655134

√2(1 - 2*0.3201593438239474)  # distance

   0.5086661900605006

function draw(a, more)
    pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2) = (-(-69*a^3 - 164*a^3*(-3*sqrt(2) - sqrt(3)*sqrt(57 - 40*sqrt(2))/2 + 5)^2 + 8*a^3*(-3*sqrt(2) - sqrt(3)*sqrt(57 - 40*sqrt(2))/2 + 5)^3 + 254*a^3*(-3*sqrt(2) - sqrt(3)*sqrt(57 - 40*sqrt(2))/2 + 5))/(84*a^2), a*(-3*sqrt(2) - sqrt(3)*sqrt(57 - 40*sqrt(2))/2 + 5))
   r1 = a*(-4√2 - 2√6 + 3√3 + 6)/2
   r2 = a*(-4√6 - 6√2 + 5√3 + 10)/2
   distance = 2(a - 2r1)^2
   @printf("a = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  中心間距離 = %g\n", a, r1, r2, distance)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle(r1, a - r1, r1)
   circle(a - r1, r1, r1)
   circle(r2, r2, r2, :green)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(r1, a - r1, "大円:r1,(r1,a-r1)", :red, :center, :bottom, delta=delta/2)
       point(a - r1, r1, "大円:r1,(a-r1,r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, r2, "小円:r2,(r2,r2)", :green, :center, delta=-delta/2)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, a, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
   end
end;