算額（その509）

算額（その509）

岩手県一関市上大槻街路 一関神明社 天保5年(1834)
http://www.wasan.jp/iwate/sinmeisha.html

正方形内に，四分円 2 個，半円 1 個，天円，地円が入っている。
地円の直径が 1 寸のとき，天円の直径はいかほどか。

正方形の一辺の長さを a
天円の半径と中心座標を r1, (r1, a - r1)
地円の半径と中心座標を r2, (x2, r2)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive, x2::positive

eq1 = x2^2 + (a - r2)^2 - (a + r2)^2
eq2 = 2(a - r1)^2 - (a + r1)^2
eq3 = (a - x2)^2 + (a//2 -r2)^2 - (a//2 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, x2))

   4-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    (a*(3 - 2*sqrt(2)), -a/2 + a*(2 - sqrt(2)), a*(2 - sqrt(2)))
    (a*(3 - 2*sqrt(2)), -a/2 + a*(sqrt(2) + 2), a*(sqrt(2) + 2))
    (a*(2*sqrt(2) + 3), -a/2 + a*(2 - sqrt(2)), a*(2 - sqrt(2)))
    (a*(2*sqrt(2) + 3), -a/2 + a*(sqrt(2) + 2), a*(sqrt(2) + 2))

4 組の解が得られるが，1 番目のものが適解である。
r1 は r2 の 2 倍である。
地円の直径が 1 寸のとき，天円の直径は 2 寸である。

res[1][1]/res[1][2] |> simplify |> println

   2

ちなみに，地円の直径が 1 寸となるのは，正方形の一辺の長さが 4*sqrt(2) + 6 のときである。

   a = 11.6569;  r1 = 2;  r2 = 1;  x2 = 6.82843

using Plots

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   a = 4*sqrt(2) + 6
   (r1, r2, x2) = (a*(3 - 2*sqrt(2)), -a/2 + a*(2 - sqrt(2)), a*(2 - sqrt(2)))
   @printf("a = %g;  r1 = %g;  r2 = %g;  x2 = %g\n", a, r1, r2, x2)
   plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
   circle(0, a, a, :green, beginangle=270, endangle=360)
   circle(a, 0, a, :green, beginangle=90, endangle=180)
   circle(a, a/2, a/2, :magenta, beginangle=90, endangle=270)
   circle(r1, a - r1, r1)
   circle(x2, r2, r2, :orange)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(a, 0, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(0, a, " a", :blue, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(a, a/2, "(a,a/2) ", :magenta, :right, :vcenter)
       point(r1, a - r1, " 天円:r1\n (r1,a-r1)", :red, :left, :vcenter)
       point(x2, r2, "地円:r2,(x2,r2)", :black, :center, :top, delta=-delta/2)
   else
       plot!(showaxis=false)
   end
end;