算額（その2049）

算額（その2049）

七十二 群馬県富岡市一ノ宮 貫前神社 嘉永2年(1849)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：円6個

天円 3 個，地円 2 個，人円 1 個が互いに接し合っている。天円，人円の直径を与えたときに地円の直径を求めるすべを述べよ。

天円の半径と中心座標を r1, (x1, y1)
地円の半径と中心座標を r2, (r2, 0)
人円の半径と中心座標を r3, (0, y3)
とおき，以下の連立方程式を解く。
SymPy では連立方程式を一度に解くことはできないので，順に解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms r1::positive, x1::positive, y1::positive,
     r2::positive, r3::positive, y3::positive
eq1 = x1^2 + (y3 + r3 + r1 - y1)^2 - 4r1^2 |> expand
eq2 = (x1 - r2)^2 + y1^2 - (r1 + r2)^2 |> expand
eq3 = x1^2 + (y1 - y3)^2 - (r1 + r3)^2 |> expand
eq4 = r2^2 + y3^2 - (r2 + r3)^2 |> expand;

まず，eq1, eq3 から，x1, x2 を求める。

res = solve([eq1, eq3], (x1, y1))[1]  # 1 of 1

   (2*r1*sqrt(r3)*sqrt(2*r1 + r3)/(r1 + r3), (-r1^2 + 2*r1*r3 + r1*y3 + r3^2 + r3*y3)/(r1 + r3))

eq4 に x1, y1 を代入し y3 を求める。

eq14 = eq4(x1 => res[1], y1 => res[2])
ans_y3 = solve(eq14, y3)[1]  # 1 of 1
ans_y3 |> println

   sqrt(r3)*sqrt(2*r2 + r3)

eq2 に x1, y1, y3 を代入し r2 を求める。

eq12 = eq2(x1 => res[1], y1 => res[2], y3 => ans_y3) |> simplify |> numerator;
ans_r2 = solve(eq12, r2)[2]  # 2 of 2
ans_r2 |> println

   2*r1*(r1^5*r3 + r1^4*r3^(3/2)*sqrt(2*r1 + r3) + r1^4*r3^2 + 4*r1^3*r3^(5/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 6*r1^2*r3^(7/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 2*r1^2*r3^4 + 4*r1*r3^(9/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 3*r1*r3^5 + r3^(11/2)*sqrt(2*r1 + r3) + r3^6 + sqrt(r1^10*r3^2 + 2*r1^9*r3^(5/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 2*r1^9*r3^3 + 2*r1^8*r3^(7/2)*sqrt(2*r1 + r3) - 7*r1^8*r3^4 - 16*r1^7*r3^(9/2)*sqrt(2*r1 + r3) - 24*r1^7*r3^5 - 32*r1^6*r3^(11/2)*sqrt(2*r1 + r3) - 10*r1^6*r3^6 + 12*r1^5*r3^(13/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 52*r1^5*r3^7 + 92*r1^4*r3^(15/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 102*r1^4*r3^8 + 112*r1^3*r3^(17/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 88*r1^3*r3^9 + 64*r1^2*r3^(19/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 41*r1^2*r3^10 + 18*r1*r3^(21/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 10*r1*r3^11 + 2*r3^(23/2)*sqrt(2*r1 + r3) + r3^12))/(r1^6 + 4*r1^5*sqrt(r3)*sqrt(2*r1 + r3) + 10*r1^5*r3 + 8*r1^4*r3^(3/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 19*r1^4*r3^2 + 12*r1^3*r3^3 - 8*r1^2*r3^(7/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 3*r1^2*r3^4 - 4*r1*r3^(9/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 2*r1*r3^5 + r3^6)

式が長く，SymPy では簡約化できないが，天円，人円の半径を与えれば，地円の半径が求まる。
天円，人円の直径が 15 寸，7 寸のとき，地円の直径は 5.72928861346286 寸である。

2ans_r2(r1 => 15/2, r3 => 7/2) |> println

   5.72928861346286

その他のパラメータは以下のとおりである。

  r1 = 7.5;  r3 = 3.5;  r2 = 2.86464;  y3 = 5.68353;  x1 = 10.9728;  y1 = 6.45626

function draw(r1, r3, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r2 = 2*r1*(r1^5*r3 + r1^4*r3^(3/2)*sqrt(2*r1 + r3) + r1^4*r3^2 + 4*r1^3*r3^(5/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 6*r1^2*r3^(7/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 2*r1^2*r3^4 + 4*r1*r3^(9/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 3*r1*r3^5 + r3^(11/2)*sqrt(2*r1 + r3) + r3^6 + sqrt(r1^10*r3^2 + 2*r1^9*r3^(5/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 2*r1^9*r3^3 + 2*r1^8*r3^(7/2)*sqrt(2*r1 + r3) - 7*r1^8*r3^4 - 16*r1^7*r3^(9/2)*sqrt(2*r1 + r3) - 24*r1^7*r3^5 - 32*r1^6*r3^(11/2)*sqrt(2*r1 + r3) - 10*r1^6*r3^6 + 12*r1^5*r3^(13/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 52*r1^5*r3^7 + 92*r1^4*r3^(15/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 102*r1^4*r3^8 + 112*r1^3*r3^(17/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 88*r1^3*r3^9 + 64*r1^2*r3^(19/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 41*r1^2*r3^10 + 18*r1*r3^(21/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 10*r1*r3^11 + 2*r3^(23/2)*sqrt(2*r1 + r3) + r3^12))/(r1^6 + 4*r1^5*sqrt(r3)*sqrt(2*r1 + r3) + 10*r1^5*r3 + 8*r1^4*r3^(3/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 19*r1^4*r3^2 + 12*r1^3*r3^3 - 8*r1^2*r3^(7/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 3*r1^2*r3^4 - 4*r1*r3^(9/2)*sqrt(2*r1 + r3) + 2*r1*r3^5 + r3^6)
   y3 = sqrt(r3)*sqrt(2*r2 + r3)
   (x1, y1) = (2*r1*sqrt(r3)*sqrt(2*r1 + r3)/(r1 + r3), (-r1^2 + 2*r1*r3 + r1*y3 + r3^2 + r3*y3)/(r1 + r3))
   @printf("天円，人円の直径が %g，%g のとき，地円の直径は %g である。\n", 2r1, 2r3, 2r2)
   @printf("r1 = %g;  r3 = %g;  r2 = %g;  y3 = %g;  x1 = %g;  y1 = %g\n", r1, r3, r2, y3, x1, y1)
   plot()
   circle(0, y3 + r3 + r1, r1)
   circle2(x1, y1, r1)
   circle2(r2, 0, r2, :blue)
   circle(0, y3, r3, :green)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(0, y3 + r3 + r1, "天円:r1,(0,y3+r3+r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(x1, y1, "天円:r1,(x1,y1)", :red, :center, delta=-delta/2)
       point(r2, 0, "地円:r2\n(r2,0)", :blue, :center, delta=-delta/2)
       point(0, y3, "人円:r3\n(0,y3)", :green, :center, delta=-delta/2)
   end
end;

draw(15/2, 7/2, true)