算額(その2044)
(9) 滋賀県マキノ町海津 天神社 明治8年(1875)
近畿数学史学会:近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」,平成4年5月16日 初版第一刷,大阪教育図書株式会社,大阪市.
キーワード:円3個,長方形,斜線2本
長方形の中に斜線を 2 本引き,大円 1 個,小円 2 個を容れる。長方形の長辺と短辺が 5 寸,4 寸,また,大円の直径が 2.2 寸のとき,小円の直径はいかほどか。
算額の図を見れば,長方形の長辺と短辺の比が 5:4 になっていないことが明白である。図面から測定すると,長方形の短辺を 4 寸とすれば,長辺は 5.788 寸,大円の直径は 2.73 寸である。上図はこの寸法で描いたものである。
与えられた条件の寸法で解を求め,実際に図を書いてみると下図のようになる。小円は斜線と交わるし,小円は大円より大きい。
長方形の長辺と短辺を 2a, b
斜線と長方形の長辺の交点座標を (c, 0); c < 0
大円の半径と中心座標を r1, (0, b - r1)
小円の半径と中心座標を r2, (a - r2, r2)
とおき,以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt");
using SymPy
@syms a::positive, b::positive, c::negative, r1::positive, r2::positive
eq1 = dist2(c, 0, a, b, 0, b - r1, r1)
eq2 = dist2(c, 0, a, b, a - r2, r2, r2)
res = solve([eq1, eq2], (r2, c))[1]
((a*b - b*r1)/(2*a), (-a^2*b + 2*a^2*r1 + b*r1^2)/(2*a*r1))
長方形の長辺と短辺が 5, 4,大円の直径が 2.2 のとき,小円の直径は 2.24 である。
その他のパラメータは以下のとおりである。
a = 2.5; b = 4; r1 = 1.1; r2 = 1.12; c = -1.16545
function draw(a, b, r1, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(r2, c) = ((a*b - b*r1)/(2*a), (-a^2*b + 2*a^2*r1 + b*r1^2)/(2*a*r1))
@printf("長方形の長辺と短辺が %g, %g,大円の直径が %g のとき,小円の直径は %g である。\n", 2a, b, 2r1, 2r2)
@printf("a = %g; b = %g; r1 = %g; r2 = %g; c = %g\n", a, b, r1, r2, c)
plot([a, a, -a, -a, a], [0, b, b, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
circle(0, b - r1, r1)
circle2(a - r2, r2, r2, :blue)
segment(c, 0, a, b)
segment(-c, 0, -a, b)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, b - r1, "大円:r1,(0,b-r1)", :red, :center, delta=-delta/2)
point(a - r2, r2, "小円:r2(a-r2,r2)", :blue, :center, delta=-delta/2)
point(a, 0, "a", :green, :center, delta=-delta)
point(c, 0, "c", :black, :center, delta=-delta)
point(0, b, " b", :black, :left, :bottom, delta=delta/2)
plot!(xlims=(-a - 5delta, a + 5delta), ylims=(-5delta, b + 5delta))
end
end;
draw(5/2, 4, 2.2/2, true)