ねこ掛け算のブログ

そろばん暗算は出来ないな、という人たちのための掛け算暗算法
2桁・3桁同士から、そこまでやるかの4桁超までご紹介

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2桁の数の2乗 暗記法 その2 計算法(1) その1 

2012-04-22 00:00:00 | 平方数 2乗の数
本稿は、2桁の数の2乗の数を順列に並た際に現れる法則性を見つけようという試みです。
その法則性を用いて、何らかの形で2乗の数の計算法、即算法を考えたいと思います。

そのためには、先ずは実際に並べて観察することが第一歩と思われますので、下記に並べます。
ここでは、0から50までの2乗 と 51以降のもの を横並びにしてあります。

ここで具体的に注目いただきたいのが2乗の数の「下二桁の数」です。

    0× 0=   0     50×50=2500
    1× 1=   1     51×51=2601
    2× 2=   4     52×52=2704
    3× 3=   9     53×53=2809
    4× 4=  16     54×54=2916
    5× 5=  25     55×55=3025
    6× 6=  36     56×56=3136
    7× 7=  49     57×57=3249
    8× 8=  64     58×58=3364
    9× 9=  81     59×59=3481

   10×10= 100     60×60=3600
   11×11= 121     61×61=3721
   12×12= 144     62×62=3844
   13×13= 169     63×63=3969
   14×14= 196     64×64=4096
   15×15= 225     65×65=4225
   16×16= 256     66×66=4356
   17×17= 289     67×67=4489
   18×18= 324     68×68=4624
   19×19= 361     69×69=4761

   20×20= 400     70×70=4900
   21×21= 441     71×71=5041
   22×22= 484     72×72=5184
   23×23= 529     73×73=5329
   24×24= 576     74×74=5476
   25×25= 625     75×75=5625
   26×26= 676     76×76=5776
   27×27= 729     77×77=5929
   28×28= 784     78×78=6084
   29×29= 841     79×79=6241
   30×30= 900     80×80=6400

   31×31= 961     81×81=6561
   32×32=1024     82×82=6724
   33×33=1089     83×83=6889
   34×34=1156     84×84=7056
   35×35=1225     85×85=7225
   36×36=1296     86×86=7396
   37×37=1369     87×87=7569
   38×38=1444     88×88=7744
   39×39=1521     89×89=7921
   40×40=1600     90×90=8100

   41×41=1681     91×91=8281
   42×42=1764     92×92=8464
   43×43=1849     93×93=8649
   44×44=1936     94×94=8836
   45×45=2025     95×95=9025
   46×46=2116     96×96=9216
   47×47=2209     97×97=9409
   48×48=2304     98×98=9604
   49×49=2401     99×99=9801
   50×50=2500    100×100=10000

お気づきの通り、この左右2列に並んだ2乗の数、下二桁の数が同じです。
横に並んだ同士、数は50異なるわけですが、

 50異なる2つの数の2乗の下二桁は同じ

となるのです。

となると、少なくとも50までの数の2乗を覚えてしまえば、
51から99までの2乗は、半分は覚えた同じ、と言えます。(ちょっと苦しいですが)

  つまり 例えば、31×31=961 と覚えたなら、
  31 に 50 を足した 81×81 は 少なくとも 「XX61 と判ります。

  80×80 は 6400 だから 6461 か、6561 あたりだ、と推測。

  80×81 は 6480 だから、6461 はなく、6561、という感じです。

  

この気付きだけでも暗記のためには価値がありますが、話はこれだけでは終わりません。

さらに、25×25=625 を中心として 上下に一つずつ移動しながら、二つの数の2乗の数の下二桁を比較してみて下さい。
これも同じ数になっています。

つまり、0から24までの2乗の数の下二桁の数に現れた数は、25を境として
    26から50までの2乗の数の下二桁に逆順に現れる
、ということなんです。

    まるで、25の地点で鏡に写したかのごとくです。


これは、前回20台の数の2乗のグループの中での特徴として指摘しましたが、実はその外側にも広がっている話だったのです。

視覚的に確認しやすいように、25から後半を逆順に並べてみます。

               ↓
    0 × 0 =      50 × 50 = 2500
    1 × 1 =      49 × 49 = 2401
    2 × 2 =      48 × 48 = 2304
    3 × 3 =      47 × 47 = 2209
    4 × 4 =  16   46 × 46 = 2116
    5 × 5 =  25   45 × 45 = 2025
    6 × 6 =  36   44 × 44 = 1936
    7 × 7 =  49   43 × 43 = 1849
    8 × 8 =  64   42 × 42 = 1764
    9 × 9 =  81   41 × 41 = 1681
  10 × 10 = 100   40 × 40 = 1600
  11 × 11 = 121   39 × 39 = 1521
  12 × 12 = 144   38 × 38 = 1444
  13 × 13 = 169   37 × 37 = 1369
  14 × 14 = 196   36 × 36 = 1296
  15 × 15 = 225   35 × 35 = 1225
  16 × 16 = 256   34 × 34 = 1156
  17 × 17 = 289   33 × 33 = 1089
  18 × 18 = 324   32 × 32 = 1024
  19 × 19 = 361   31 × 31 =  961
  20 × 20 = 400   30 × 30 =  900
  21 × 21 = 441   29 × 29 =  841
  22 × 22 = 484   28 × 28 =  784
  23 × 23 = 529   27 × 27 =  729
  24 × 24 = 576   26 × 26 =  676
  25 × 25 = 625     同じ数が逆順で並ぶ↑

以上の様に、確かに25で反転し、順番が逆になり同じ数が並んでいます。

  

ではこの数字の並びの2つの特徴に関し、何故そのようなことが言えるのか、数式で一般化してみましょう。


まず一つ目、「50の差がある2つの2桁の整数の2乗は、下二桁が同じ」ということですが、
以下の通り考えます。

2つの数の、小さい方を a 、大きい方を a+50 とします。(aは49以下の自然数)

この二つの数の2乗の数の大きい方から小さい方を引きます。

  (a+50)×(a+50)-a×a
 =(a^2+100a+2500)-a^2)
 =100a+2500
 =100(a+25)  となります。

つまり、100の倍数となりました。

2数の一方からもう一方を引き算したら百の倍数、すなわち下二桁が00になるということは、
元々の数の2つの数の下2桁は等しかった
、ということになります。



次に、「25で反転し同じ下2桁の数が逆順で現れる」というのはどうでしょうか。
(ここでは、0から50までの数に限定して考えます)

これは言い換えると、「25から等距離にある2つの整数の2乗の数は、下二桁が同じ」
となります。

そこで、この25を挟んだ数の、小さい方を 25-a 、大きい方を 25+a とします。
(aは24以下の自然数)

先程と同様、この二つの数の2乗の数の大きい方から小さい方を引き算します。

  (25+a)×(25+a)-(25-a)×(25-a)
 =(625+50a+a^2)-(625-50a+a^2)
 =100a

となり、これも100の倍数です。

つまり、この場合も、もともとの2つの数の下二桁の数は等しいということになります。

。。。意外な事実でしたね。



以上、2つの法則を再確認します。

 
 「25から等距離にある2つの整数の2乗の数は、下二桁が同じ」
 「50の差がある2つの2桁の整数の2乗の数は、下二桁が同じ」

この二つの法則を統合いたしますと、

 0から25までの2乗の数の下二桁に現れた数は、25から50までに逆順に現れ、
 さらに、50から75までに再度同じ順番で現れ、再び75から100まで逆順に現れる


と言えます。

つまり、2乗の数の下二桁の数のパターンは、0から25 までに全て現れてしまうのです。
26以降、違う数は出てきません。

ここで暗記の話に戻りますが、先ほど2乗の数は50まで覚えれば、51から99までは
半分覚えたも同じ、という言い方をしました。

ところが、26から50までの2乗の下二桁も、0から25まで場合の繰り返しだとしたならば、
暗記する2乗の数はさらに半分で済むわけです。

ただし、逆順に現れる数字の対応関係のつかみ方に慣れる必要もありますし、百の位、千の位は依然不明です。

そこで、もう一歩踏み込んで、何か上手な形で1から25までの2乗の数を使って、
それ以降(26以降)の2乗の数を導き出す方法
がないものか、考えてみましょう。


  


ここで、論を進める前に、「2乗の数の下二桁が同じとなる数のグループ」について考察を深めておきます。
これもまた、具体的に数字を並べてみましょう。

整数を2乗した場合の下二桁の数 と 対応する0から100までの数

2乗の下二桁  対応する100までの数(その2乗)
00:  (  0) 50(2500)         100(10000)
01:  (  1) 49(2401) 51(2601) 99(9801)
04:  (  4) 48(2304) 52(2704) 98(9604)
09:  (  9) 47(2209) 53(2809) 97(9409)
16:  ( 16) 46(2116) 54(2916) 96(9216)
25:  ( 25) 45(2025) 55(3025) 95(9025)
36:  ( 36) 44(1936) 56(3136) 94(8836)
49:  ( 49) 43(1849) 57(3249) 93(8649)
64:  ( 64) 42(1764) 58(3364) 92(8464)
81:  ( 81) 41(1681) 59(3481) 91(8281)
00: 10(100) 40(1600) 60(3600) 90(8100)
21: 11(121) 39(1521) 61(3721) 89(7921)
44: 12(144) 38(1444) 62(3844) 88(7744)
69: 13(169) 37(1369) 63(3969) 87(7569)
96: 14(196) 36(1296) 64(4096) 86(7396)
25: 15(225) 35(1225) 65(4225) 85(7225)
56: 16(256) 34(1156) 66(4356) 84(7056)
89: 17(289) 33(1089) 67(4489) 83(6889)
24: 18(324) 32(1024) 68(4624) 82(6724)
61: 19(361) 31( 961) 69(4761) 81(6561)
00: 20(400) 30( 900) 70(4900) 80(6400)
41: 21(441) 29( 841) 71(5041) 79(6241)
84: 22(484) 28( 784) 72(5184) 78(6084)
29: 23(529) 27( 729) 73(5329) 77(5929)
76: 24(576) 26( 676) 74(5476) 76(5776)
25: 25(625)          75(5625)
    (列1)    (列2)    (列3)    (列4)
<<観察>>
  (列1の数)+(列2の数)= 50 
  (列1の数)+ 50 = (列3の数)  (列2の数)+ 50 = (列4の数)
  (列1の数)+(列4の数)= 100
 (ちょっと上記の関係を確認してから次に進んで下さい。)

  
  

上記に観察できます通り、2乗すると下二桁の数が同じとなる数のグループは基本的には4つの数で構成されます。
これは、0から25までの2乗の下二桁に現れた数が、以後3回、逆順、正順、逆順と現れる、
すなわちトータル4回現れますので、その様になります。

ただし、00と25については、該当する数字の数だけを言えば4つ以上になります。
これは5の倍数と10の倍数の特性によるものですが、上記の表では便宜的に分けて表示しています。

2乗計算の即算法では、この4つの数のうち、最もも小さい数、すなわち「0から25までの数」の2乗 
を使いたかったわけです。

上記の表で見るならば、ある数字を考えた時に、その数が属しているグループの中で一番左側の数が判ればよい。
これを先ずは想起したい。


その計算法を考えます。




そこでまず、2乗をすると下二桁が同じ数になる2つの数、これにはどういう性質があったか。
ここから入ります。(2つ挙げましたね)

順序は前後しますが、先ず「25から等距離にある」ということが一つありました。

「25から等距離。。」といっても判りにくいですので、言い換えを一回しておきます。

2乗をすると下二桁が同じ数になる2数があり、それぞれ a,b(a>b)とします。
また、bは25以下であり、数aが与えられた場合、求めたい数とします。

その2数の25からの距離が等しかった場合、 25-a=b-25
よって a+b=50

つまり、2数の合計が50になる時、それぞれの2乗の数の下二桁は等しくなります。

よって、元の数をaに対し、2乗すると下二桁が同じとなる数 b は b=50-a の関係が成り立ちます。

また、bは25以下ですので、b=<25 より、
  50-a =< 25
  25 =< a

すなわち a は25以上、

また、bは0以上であるため、0=<b
これより 0 =< 50-a
     a =< 50

すなわち a は 50 以下

よって、元の数が25以上50以下の時、
2乗すると下二桁が同じとなる数は (50-元の数)
 で求められます。

  
では次に、「50の差がある数」という性質から考えを展開します。

同じく、2乗をすると下二桁が同じ数になる2数があり、それぞれ a,b(a>b)とします。
この2数の場合は、「50の差」があることとします。

よって b=a-50

bは25以下より、b=<25、
よって a-50 =< 25
    a =< 75

すなわち a は75以下

また、bは0以上であるため、0=<b
これより 0 =< a-50
    50 =< a

すなわち a は 50 以上

よって、元の数が50以上75以上の時、
2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数は (元の数-50)
 となります。


ここで、2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数の導き方が2通り出てきました。
 
 元の数a が 25以上50以下だったら 50-a
 元の数a が 50以上75以下だったら a-50

何やら50より小さければ50から引き50より大きければ50を引く、というこ

とですね。

ここで一旦、例を出して確認し、それから次に行きましょう

 27の場合  50-27 = 23
 68の場合  68-50 = 18

確かめます 27×27= 729、 23×23= 529、 下二桁は29で同じ
      68×68=4624、 18×18= 324、 下二桁は24で同じ



では次に、上記の場合から外れた範囲、元の数が 75以上(100以下)となった場合、どのように計算するのでしょうか。

元の数aが75以上の場合、a-50 は aと2乗した場合下二桁同じになりますが、25 以下にはなりません。
ただし、さらに計算して、50から(a-50)を引いた数b これは25以下になると同時に、もとの数aとも2乗した場合に下二桁が同じ数になります。

すなわち  b=50-(a-50)
       =100-a
    
よって、元の数が75以上100以下の時、
2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数は (100-元の数)
 です。


100から引く、ですね。。。
 
例をあげると、88の場合、100-88 で 12 となります。
これも確かめます: 88×88= 7744、 12×12= 144、 下二桁は44で同じ!

正しいですね。


これで「2乗すると下二桁が同じとなる25以下の数の求め方」が全て揃いました。

 元の数a が 

   25以上 50以下だったら 50-a
   50以上 75以下だったら a-50
   75以上100以下だったら 100-a



そこで次回は いよいよこの求め方を用いた2乗の数の計算方法に入ります。


  



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