身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

ある二次正方行列が作る体と複素数体C

2018年06月29日 | 数学・数学教育
2018年6月29日(金)


  以前にこのブログで、ハミルトンの多元環を用いて複素数を構成する方法について述べた。

多元数を用いたハミルトンの複素数構成法(再掲載) (2014年12月4日)

  複素数を学習するとき、多くの人が混乱するのは

  i^2=-1

と言う虚数の定義である。

 「2乗して-1になる数ってあるの?」

と言うことになる。ハミルトンの複素数の構成法も今回の二次正方行列を用いた構成法も、i^2=-1は定理として
自然に導かれる。違和感を感じない。


  今回はある二次正方行列の作る集合に、通常の行列の和と積を定義する。すると、

   (,+,×)

は、体となる。ただし、乗法では0行列を除いておこう。

  実は、この体が複素数体

   (,+,×)

と同型になるのである。このことについて、簡単に触れてみた。

  同様な行列を用いた構成は、四元数、八元数でも可能である。四元数、八元数の構成法については触れなかったが、
四元数、八元数については私の次のブログでも登場してくる。参照にされたい。

  四元数、八元数について (2014年5月27日
  体の定義と四元数体 
(2015年11月8日)
  ケーリーの八元数 
(2015年11月10日)







(追記)

1.昨日の一風景
  昨日28日の木曜日は、午前中にアピタ北方店へ、午後はOKBふれあい会館内の放送大学岐阜学習センターへ
行った。昨日は木曜日で、ゼミ「重力波とは何か」が15時15分から行われる。
  6月は入院したこともあって、昨日でたった3回目の岐阜行きである。 
  午前8時50分頃に自宅を出た。いつもの通り道、海津市から北方町までは県道の一本道を北進した。北方南小学校の前を9時45分頃に通過、アピタ北方店に10時前に到着した。

  行きと帰りに、いつものようにMさんの勤務校の前を通った。行きは2学年全部が水泳の時間で教室にはカーテンが
かかっていた。OKBふれあい会館に向かう10時55分ごろの通過時は、授業中のMさんの姿がぼんやりとわかったわ
かった。
  毎週火曜日・木曜日と同じような記事が書けることは、生活にリズムがあっていいことだと思っている。

  OKBふれあい会館内の岐阜学習センターに11時10分頃に着く。すぐに放送大学岐阜学習センターへ行き、昼食
後パソコンを借りてこの記事を書く。15時15分から、いつものようにゼミを受ける。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
  はっきり書けないが、25日(水)の18時ごろから愛知県愛西市のある料理店である人とその奥さんを招いて、あ
る役員就任のお祝い会を開いた。すごく感じのいい店で、料理もおいしくもう一度行きたくなるような料理店であった。
全部で5人の会食であった。私は久しぶりに、酔うほどにビールをいただいた。
  楽しい会だった。帰宅したのは、21時30分を過ぎていた。
コメント

中学1年生で習う絶対値について ~数学教科書のあほらしい定義とあほらしい利用法

2018年06月28日 | 数学・数学教育
2018年6月28日(木)


・・・・・・・・・・facebook投稿から 6月26日11時45分頃投稿・・・・・・・・・・・・・・・
  実数の絶対値は、中学1年生の数学であれ高校数学であれ、0または正の数です。ふつう、実数の絶対値の(数
学での)定義として

  |a|=max{a,-a}   (注1)
        
で与えられます。したがって、たとえば

  +3の絶対値 |+3|=+3=3
  ー3の絶対値 |-3|=-(-3)=+3=3
  0の絶対値  |0|=0

となります。中学校では「符号をとった数」と教えるようですが、この教え方は絶対値の意味を正しく表してい
ません。
テストで、+3の絶対値を+3とすると×になる可能性があります。実際、中学校の数学の教員で+3
のように書くと×にする人が見られます。そうした教員は、

「本当に絶対値を理解しているのだろうか?」

と思えます。(注2)
 +3の絶対値は+3であり、+の符号を省く決まりに従えば3となります。この場合、絶対値は正の数になります。
-3の絶対値も同様で、+3または3と書くことができます。
 中学校数学で、数の絶対値を教えるならば、必ず「正の数または0である」と教えるべきです。「符号をとった数」
というような今の中学校のような教え方ならば、中学数学で絶対値を扱わない方がいいでしょう。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  中学1年生で習う絶対値についての私の主張は、ほぼ上の6月26日のfacebook投稿に尽きる。絶対値については、
このブログでも以前に書いてきた。基本的にその頃の主張と変わっていない。

  数直線上の距離 ~絶対値について (2014年8月17日)・・・高校数学として
  絶対値記号について ~高校数学(数学Ⅰ)の指導から思ったこと (2015年5月20日)
  大日本図書の新しい中学数学の教科書『新版数学の世界』1 ~絶対値 (2016年4月17日)
  絶対値記号を含む不等式を解いてみよう (2017年6月9日)・・・高校数学として

  中学校1年生の絶対値についての扱い方について、次期の新学習指導要領ではどうなっているのだろうか?学習指
導要領と学習指導要領解説とは、同じ文科省の発行であるが、別物である。そのことを認識した上で、2017年に出
版された

  文科省 『中学校学習指導要領(平成29年告示)解説 数学編』

を見てみた。私の見落としがあるかも知れないが「絶対値」ということば自体が二カ所しか見いだせなかった。(注3)
考えてみれば中学校数学での「絶対値」は中学1年生のみに登場し、それも正負の四則の際の説明に使われるのみであ
る。絶対値に対して「符号をとったもの」という極めて中途半端な定義がなされ、中途半端にしか利用されない。これ
が中学数学の絶対値の扱いの現状なのだろう。
  あまり意味がないかも知れないが、『中学校学習指導要領(平成29年告示)解説 数学編』に出てくる「絶対値」
のことばのある部分を引用しておく。


文科省 『中学校学習指導要領(平成29年告示)解説 数学編』より・・・赤線は、ブログ主

(注1)
    |a|=max{a,-a}
のmax{,}は、小さくない方を表す記号である。max{a,-a}とすれば、aと-aでは、小さくない方を表す。

    a>0 のとき a>-a であるから、 |a|=max{a,-a}=a>0 となる
    a<0 のとき -a>a であるから、 |a|=max{a,-a}=-a>0 となる
    a=0 のとき a=-a=0 であるから、 |a|=max{a,-a}=aまたは-a=0 となる

いずれにしても、
 
    |a|>=0

である。

(注2)
  中学校の数学の教員が悪いというより、中学校数学の教科書を編纂・執筆している教員養成系の学部や教
職課程に在籍する大学教員――算数・数学教育「学」者があほらしい
と言うべきかも知れない。困った者である。

(注3)
  『中学校学習指導要領(平成29年告示)解説 数学編』をすべて読んでいないので、見落としがあるかも知れない。
あれば、ご指摘いただけるとありがたい。


  


(追記)

1.訪問者数が80万IPを達成する!
  6月26日までの訪問者が、80万IPを超えた。多くのアクセスに、感謝したい。

     閲覧数  3,208,625 PV
     訪問者数   800,938 IP  

  今後も、どんどん「身勝手な主張」をしていくつもりである。応援よろしく! 


 
コメント

二項係数のたたみ込み定理 ~組合せ論の話題から2

2018年06月27日 | 数学・数学教育
2018年6月27日(水)


  前回の

  ジョルダンの階乗記号 ~組合せ論の話題から1 (2018年6月26日)

に続いて、私が苦手な組合せ論に挑戦してみた。今回は高校数学でも登場してくる二項係数のたたみ込み定理からはじ
めて、一般の二項係数のたたみ込み定理について触れる。前回のジョルダンの階乗記号を参照にしていただきたい。

  今回も、高校数学の延長で読むことができる比較的初歩的な教科書

  山本幸一『順列・組合せと確率』(岩波書店の数学入門シリーズ5,1983.5)

に沿って記述した。










(追記)

1.昨日の一風景
  昨日26日の火曜日は、午前中にマーサ-21の書店「丸善」へ、午後はOKBふれあい会館内の放送大学岐阜学習
センターへ行った。
火曜日であるから、ゼミのない日である。 
  午前8時30分頃に自宅を出た。いつもの通り道、海津市から北方町までは県道の一本道を北進した。北方南小学校の前を9時25分頃
に通過、マーサ-21へは専門店が開店する9時50分前に到着した。
  丸善で主として算数教育関係の本を見ていた。算数教育主流派のくだらない本が多く、他に数教協、そして少数の
TOSS関連の本があった。相変わらず私が求めるような本はなかった。算数に比べると中学校数学の本は少なかった。
  丸善で時間を過ごして、マーサ-21で食事をしてからOKBふれあい会館に向かった。11時25分ぐらいであっ
た。

  行きと帰りに、いつものようにMさんの勤務校の前を通った。授業中のMさんの姿がよくわかった。1OKBふれあ
い会館に向かうときが11時50分頃で、テストか何かがあったのだろうか、着席していたMさんの姿が目にとまった。

  OKBふれあい会館内の岐阜学習センターに12時10分頃に着く。放送大学岐阜学習センターへ行き、久しぶりに
視聴覚室のパソコンで放送授業を聴講した。ラジオ番組である「現在の日本の教師――その仕事と役割'15』を聴いた。15
時近くなったので、帰宅の途についた。

コメント

ジョルダンの階乗記号 ~組合せ論の話題から1

2018年06月26日 | 数学・数学教育
2018年6月26日(火)


  高校の順列・組合わせと確率を得意とする人は、ジョルダンの階乗記号ということばを聞いたことが
あるだろう。しかし、私も含めていわゆる離散数学、確率論を苦手とする人はこのことばを聞いたことがな
いかもわからない。私も差分法については知っていたが、ジョルダンの階乗記号については正直知らなかった。
そこで、私自身が理解するために、このブログで整理してみたいと思った。

  整理するに当たって、

  山本幸一『順列・組合せと確率』(岩波書店の数学入門シリーズ5,1983.5)

に沿って記述した。今回のブログの内容自体は、易しい。






コメント

鏡映(reflection)について ~松本幸夫・川崎徹郎『空間とベクトル』より

2018年06月24日 | 数学・数学教育
2018年6月24日(日)


  「合同」な2つの図形の性質は、小学校・中学校の図形教材の1つの中心的テーマである。小学校では、
5年生教材の「ぴったり重なる図形について調べよう」(大日本図書『新版 たのしい算数5』で取り扱われる。
ここでは、

  ぴったり重ねあわせることのできる図形は、合同であるといいます(P72)

と、合同の素朴な定義が与えられる。そして、経験的な手続きによって

  合同な図形では、対応する辺の長さは等しく、対応する角の大きさも等しくなっています(P74)

とまとめている。
  中学校数学(2年生)では、論証が前面に出て三角形の合同条件を使って三角形などの図形の性質を導くこと
が行われる。具体的には、三角形の合同条件・直角三角形の合同条件を習い、これを用いる。なお、中学校の合同
条件はすべてが公理として扱われる。直角三角形の合同条件については、三角形の合同条件を用いて証明される。
  このように、合同の概念は小・中学校の幾何教育で、中心的な位置を占める。

  ところで、合同変換はある図形を①鏡映、②回転移動、③平行移動 等を用いて等長に変換することをいう。
これらの合同変換は、鏡映の合成によって表すことができる。そうした意味で、改めて鏡映を取り上げてみよう
と思った。取り扱いは、

  松本幸夫・川崎徹郎『空間とベクトル』(放送大学教材、2009.3)

に沿って、ベクトル解析の一内容として扱った。確認の意味で、冒頭に小・中学校の教材について触れたが、
小・中学校の「合同」教材について述べたわけでない。念のために。








(追記)

1.先週1週間のアクセス
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
  期間 2018.06.17 〜 06.23、閲覧数 36,533PV 、訪問者数 6,880IP、順位 356 位 / 2,829,102ブログ
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


2.今週の予定
6月24日(日)・・・・ 7:00~ 堤防の草刈り(家族による代理出席)
                 午後 地元八幡神社の神事「虫封じ」(欠席)
6月26日(火)・・・・ 午前中 マーサ-21の「丸善」へ
                 午後 放送大学岐阜学習センター    
6月27日(水)・・・・ 夜  大垣市内で私的な会合
                 19:30~ 地元了圓寺にて同朋会(家族による代理出席)
6月28日(木)・・・・ 午前中 北方町アピタ北方店
                 午後 放送大学岐阜学習センター
                 15時15分~ゼミ「重力波とは何か」参加
6月29日(金)・・・・ 11:00~ 了圓寺反省会
6月30日(土)・・・・ 14:00~ ナゴヤドームにて野球観戦(11時に出発)


3.Facebook投稿より
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6月23日19時45分頃投稿・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
  都道府県や市長村の教育委員会や学校長などの管理職などが平均点を上げることに一生懸命になっている全国
学力テスト・・・私なんか全国学力テストの結果などどうでもいいと思っていますが、関係者はそうでないらしい
です。よく考えてみると、国立教育政策研究所が出題するおかしな算数・数学の問題もありますし、まして採点は
民間委託で請け負った企業はアルバイトを使って採点します。当然、いい加減にならざるを得ません。

全国学力テスト中学3年の数学Aのあほらしい1問 ~おかしな国立教育政策研究所の見解 (2016年9月29日)
https://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/42600f848d1c78cd8b9cc845460000a7


「ひどい!!全国学力テスト採点現場」の実態を訊いてみた
   
https://news.yahoo.co.jp/byline/maeyatsuyoshi/20170621-00072370/

 そんな全国学力テストの点数に一喜一憂することがいかにあほらしいか・・・そう思います。一部の指導主事や
校長などのミドルリーダーや管理職等が、点数を上げることに熱中していて学級担任や教科担任に口うるさく言って
いるようです。あほかと思います。
 全国学力テストの実態をよく見ることが大切です。
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

  
  

コメント