身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

定積分で定義された数列・級数の極限を求める問題 ~2018年度前期日程の名古屋大学理系の入試より

2018年05月31日 | 数学・数学教育
2018年5月31日(木)


  5月最後のブログに、今年度2月終わりに実施された名古屋大学理系の入試問題を取り上げてみた。私はこの
ブログで何度も大学入試問題をとりあげてきた。入試の解法の多くは高校数学の流儀にしたがっているが、受験生
向けにブログを書いているわけでないから、答案はこう記述しなければならないという入試数学の常識?にこだわっ
ているわけでない。その辺は自由に書いている。
  受験生は別として、数学の勉強として大学の入試問題を解くことに余り意味があるとは思えない。数学の教員
になるために教員採用試験の数学の問題を勉強することに意味がないのと同様である。(注)
  それでもなお私がブログで入試問題をとりあげるのは、高校数学を教えていた塾講師としての習性である。私
自身は、受験数学より大学で習う数学のほうに興味があったので受験数学のプロになりたいと思わなかったことも
あって、必死に入試問題を解くようなことはしなかった。ほどほどにこなしていたと思う。

  受験数学と言えば、私は解析学が得意なので、どうしても数学Ⅲの微分・積分の入試問題を取りあげることが
多い。それと、今学期に放送大学で微分積分学の復習の意味と「社会数学」のエクスパートの認定を得たい理由か
ら『入門微分積分'17』を履修していることも一つの理由である。より高いところから、入試問題を見てみたいと
いう気持ちもある。そうしたこともあって、今後も数学Ⅲ関係の入試問題を多く取り上げていくだろう。
  ところで余談になるが、微分積分学は何度も学習したが、何度学習してもどこかに新鮮さを感じる。奥が深い
というのか・・・・私にはよくわからないが、より進んだ解析学を学習した後で微分積分学を見てみるのもいいと
思っている。

  さて、今日は今年度の前期日程のから、定積分で定義された数列および級数の極限値を求める問題を解いてみ
よう。
  小問(1)~(3)はそれほど難しくない。しかし、小問(4)の式変形はけっこう難しいと思った。4問
150分という問題のセットであるから、かなり1問に時間をかけることができる。しかし、名古屋大学の数学の
特徴であるが、かなり思考力を要する問題が並んでいる。
  なお、名古屋大学の数学の入試では公式集が与えられる。公式の暗記に終始せずに問題にじっくり取り組んで
ほしい、との出題者の意図なのだろうか?
  



(注)
  教員採用試験の数学のレベルは、岐阜県の場合、以下の通りである。

  小学校教科専門算数・・・・・・中学校数学レベル
  小学校教科専門特別枠算数・・・中学校数学レベル
  中学校数学教科専門・・・・・・高校数学の数学Ⅰ・A・Ⅱ・Bレベル 
  高等学校数学教科専門・・・・・高校数学全般のレベル

  教員採用試験の問題で、大学数学の範囲の数学が出題されることは岐阜県では全くない。高等学校数学の教科
専門科目でも、高校数学の範囲内でそれを超える問題が出題されることは全くない。小学校の教科専門では、中学
数学の範囲内である。これでは、数学教員に質の高い数学教育を望むことは
  難しい。中学校教員で、「二等辺三角形の定義は、二辺が等しい三角形である」しかないと思い込んでいる人
がいるが、そうした教員は大学で数学をしっかりと学んでこなかった人であろう。岐阜県の小学校の理科教員で、
「ふりこの周期は、ひもの長さだけで決まり重りの重さや振れ幅に無関係である」と堂々と指導案に書いている人
がいたが、その人も同様に物理学をしっかり学ばなかったのだろう。そう言えば岐阜聖徳学園大学教育学部の小学
校理科教育を担当している非常勤講師のシラバスにそれと同じようなことが書いてあった。馬鹿ではないかと思っ
た。この非常勤講師のレベルを疑う。


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VirtualBoxで遊ぶ ~Windows10上で仮想マシンを作成

2018年05月30日 | 日記
2018年5月30日(水)


  28日(月)の午後、時間が空いたので久しぶりに仮想マシンのソフトである

    Oracle VirtualBox Ver5.12

をWindows10が導入してあるメインマシンにインストールした。


Oracle VirtualBox Ver5.12の起動画面

仮想PCのソフトは、以前はマイクロソフトの

    Virtual PC

を使っていたが、残念なことに最新バージョンでもWindows10のマシンにインストールさえもできない。Virtual PC
で作った仮想HDDはたくさんあるが、使えないことになった。そこで、VirtualBoxを使うことにしたのである。実験用
のPCであるWindows7が動くマシン上では、

  Windows95,Windows NT3.51 ,Windows NT4.0 ,Windows Me ,・・・・・・

などの古いOSもVirtual PC上で動く。そこで、とりあえずWindows10のマシンには、VirtualBoxをインストールして、
次のOSの仮想HDDを作った。


いろいろなOS(Windows)

  Windows98SE , Windows XP (Pro SP3適用),Windows Vista(Ultimate 64bit), Windows7(Pro SP1適応)

 これらのOSは、いずれもすぐ手元にあったものである。VirtualBoxは、CD-ROM(DVD-ROM)からの読み取りをサ
ポートしているので、実機(ホストPC)のCD-ROM(DVD-ROM)がそのまま使える。これらのイメージ・ファイル
(iso形式)にする必要がない。
 また、これらのOSはインストールにFlopy Driveを必要としないものばかりである。Flopy DriveとFlopy Disc
が生産中止になって久しい。したがって、最近の 仮想PCのソフトは、Flopy Driveをサポートしていないものが多い。
(最近のPCのほとんどがFlopy Driveをサポートしていない。) 
  最新バージョンOracle VirtualBox Ver5.12の一番大きな特徴は、USB機器が使えることである。Virtual HDDの
OSに依存しない。USBをサポートしていないOSでも使える。もちろん、Driverなどは必要ない。ただ、USB Flopy
Driveを接続したとき、A Driveとして認識されるかはよくわからなかった。

  なお、仮想マシンをWindows10のマシンにインストールしたのは、特に目的があったわけでない。あえていうなら
ば、最近の仮想想マシンのソフトがどのようなものか知りたかったのと、古いOSに標準で添付されていたゲーム(ソ
リティアなど)で遊んでみたかったからである。ただ、新しいWindowsのバージョンやLinuxが登場したとき、別のマ
シンを用意する必要もなくVirtual HDDにインストールできる利点がある。


Windows98 SEの起動画面

  最近のVirtualBox以外の仮想マシンのソフトについて一言。Windows10 Proの64ビット版には、Hyper-V
Windows10の機能として付属している。自分で使えるように設定しなければならないが、慣れないと難しいかも知れない。こちらは、CD-ROM等はISOファイルにしてインストールする必要がある。
  私はWindows Server2008以降のServer OSでよくHyper-Vを利用していたが、そのときは同じWindows Server
を仮想マシンにもインストールして2台の Serverを運用する使い方をしていた。Windows ServerのHyper-Vでは確か
にホストPCのHDDからインストールした記憶があるが、はっきり覚えていない。
  なお、当然のことであるがHyper-Vを有効にしたWindows10の上では、VirtualBoxの仮想マシンは動作しない。念
のために。





(追記)

1.昨日の一風景
  昨日29日は、地元のお寺で仏具のおみがきがあった。私を含めて20名ほどの参加があった。したがって、火曜日
だったが、岐阜へは出かけなかった。
  6月17日(日)にお寺の住職の娘さんの結婚式が仏前でおこなわれるので、そのための準備である。参加人数が多
かったので、8時前から始めて9時30分には終了した。終了後に前総代と現総代で結婚式前後の総代・門徒のだいたい
の役割を話し合った。終了したのは、11時30分過ぎであった。


仏具のおみがき
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x^3+y^3+z^3-3xyz の因数分解についての話題から

2018年05月29日 | 数学・数学教育
2018年5月29日(火)


  x^3+y^3+z^3-3xyz

の因数分解について、自由に書いてみた。最初に取り上げたのは3次方程式を解くときに、この因数分解の公式が役立つ
ということである。若干、補足しておこう。一般の3次方程式、

  a(y^3)+b(y^2)+cy+d=0

は、まず両辺をaでわったあとに

  x=y+α  ⇔ y=x-α

とおいて展開して、x^2の項の係数が0となるようにαを定めると

  x^3+mx+n=0

の形の3次方程式になる。したがって、3次方程式の解の公式はこの形の3次方程式について導き出せばいい。なお、3次
方程式の具体的な解き方は、次の私のブログを参照にしてほしい。

 3次方程式を解いてみよう (2012年8月15日)

  次にとりあげたのは、x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解を利用した応用問題である。少し、遊んでみたいと思った。

  x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解の公式は、因数分解された因数の積を展開すればできる。しかし、直接因数分解をする
ことでもできる。その際、対称式基本対称式で表すときの方法が利用できる。対称式と基本対称式については、

  対称式と基本対称式1 ~対称式を基本対称式で表す (2018年5月26日) 
  対称式と基本対称式2 ~対称式の定理の証明の紹介 (2018年5月28日)
を参照にされたい。 



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対称式と基本対称式2 ~対称式の定理の証明の紹介

2018年05月28日 | 数学・数学教育
2018年5月28日(月)


  今回は、前回の

  対称式と基本対称式1 ~対称式を基本対称式で表す (2018年5月25日)

の問題の解法を参考にして

  すべての(整)対称式は基本対称式で表される

を証明する。証明を省略するが、

  すべての(整)対称式を基本対称式で表したとき、その表し方はただ一通りである

ことにも触れる。

  今回の証明は、私が40年以上も前に受講した玉川大学通信教育部の印刷教材

  『代数学Ⅰ・Ⅱ』(1963年初版、1976年第2版)のうちの,内山守常『代数学Ⅱ(方程式論)』

を引用させていただいた。この本の方程式論は群論などの抽象代数を用いていないので、多くは高校数学の知識
で読むことできる本である。


  なお、たとえば3次の対称式を基本対称s_1,s_2,s_3で表したとき、

  P{(s_1)^3}+Q(s_1)(s_2)+R(s_3) ・・・・(1) 

となる。

   (s_1)^3 ・・・・1^3=3
   (s_1)(s_2)・・・1^1+2^1=3
   s_3・・・・・・・3^1=3

となっている。3次の対称式は、(1)の方法しかない。一般化もできる。このことを知っていると、複雑な対
称式や次数の高い対称式を基本対称式で表すことも比較的容易になる。








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閲覧数が300万PVに到着! ~感謝とお礼

2018年05月27日 | 日記
2018年5月27日(日)


  5月25日(金)までに閲覧数が300万PVに到着した。

   閲覧数  ・・・・3,004,019 PV
   訪問者数 ・・・・  769,485 IP

閲覧数が200万PVになったのが2017年6月13日で、次のブログ

  閲覧数が200万PVの大台に! (2017年6月15日)

から約1年弱で100万PVの閲覧があったことになる。

  多くのアクセス、ありがとう!

この紙面を借りて感謝とお礼を言いたい。そして、今後もよろしくお願いしたい。

  「閲覧数が200万PVの大台に!」に習って、これまでの記事のカテゴリーを整理しておこう。5月25日までの記事の本数、( )内の数字はこの期間に書いた記事の本数です。

  数学・数学教育・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1,127 本(+168本)
  算数教育・初等理科教育・・・・・・・・・・・・・・     153 本(+ 18本)
  教員養成・現職教育・・・・・・・・・・・・・・・・・・   250 本(+ 24本)
  学校・大学での出来事、教育問題一般等・・・・・・・・・    178 本(+ 34本)
  日記・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・   312 本(+ 23本)
  大学院・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・    56 本(   0本)
  海津市中学校統合問題・・・・・・・・・・・・・・・      11 本(   0本)
  ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
  合計・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・2,087 本(+267本)






(追記)

1.先週1週間のアクセス
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  期間 2018.05.20 〜 05.26、閲覧数 39,515PV 、訪問者数 6,667IP、順位 422 位 / 2,824,704ブログ
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2.今週の予定
5月28日(月)・・・・ 8:00~ 地元の山水道の掃除
5月29日(火)・・・・ 8:00~ 地元了圓寺の仏具のおみがきと門徒の打ち合わせ
5月31日(木)・・・・ 午前中 アピタ北方店(予定)
             午後  放送大学岐阜学習センター
             15:15~ ゼミ『重力波とは何か』に参加。
6月 2日(土)・・・・ 9:00~14:35 放送大学面接授業『探求型古生物学』1日目
             三重県総合博物館(津市)
6月 3日(土)・・・・ 9:00~14:35 放送大学面接授業『探求型古生物学』2日目}



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