身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

整数に関する問題 ~2018年度前期日程の京都大学理系数学の入試問題から

2018年02月28日 | 数学・数学教育
2018年2月28日(水)


  今日で、2月も終わり。年齢の関係か、月日の過ぎるのが早く感じられる。
  国立大学の前期日程の二次試験も、2月25日(日)と26日(月)に終了した。私立大学の一般入試はほとんど終了し、
また私立高校の入試も終了した。今後は、高校入試、公立大学の中間日程や国立大学の後期日程の入試が控えている。


  大学の入試問題についてのブログで、微積分の問題と並んで整数に関する問題も多く取り上げてきた。私自身が、整数に
関する問題を解くことが好きであることが理由かも知れない
  整数に関するおもしろい問題が、2018年度前期日程の京都大学理系の数学入試問題に出題された。標準的で、どちら
かというとやさしめの問題である。大学入試問題であるから本来ならば高校数学の数学A「整数の性質」にあるように、
   
   n=3k ,n=3k±1

として解くの当然かも知れない。しかし、このブログは高校数学の問題であっても高校数学の解法にこだわっていないし、本
質的な違いがあるわけでないから、

   n≡0(mod 3) ,n≡1(mod 3) ,n≡-1(mod 3) 

で場合分けをして解いた。

  また、

  素数の定義は、整数の素因数分解の一意性が担保されるように定義される

ことが原則だから、wikipediaに記述されていた素数の定義をそのまま採用した。








(追記)

1.昨日の一風景
  昨日火曜日は、いつものように午前中に岐阜市北部のマーサ-21へ、午後はOKBふれあい会館内の放送大学岐阜学習
センターへ行った。
  午前8時30分過ぎに自宅を出て、県道を北に向かって海津市→輪之内町→安八町→大垣市墨俣町→瑞穂市穂積を経て馬場交
差点を北方町へ入って東に向かう。すぐ北方町の高屋伊勢田東交差点を北に向かうと、北方南小学校の東側に出る。さらに真っ
直ぐ北に向かって五反田交差点から東に曲がって七郷小学校の前を通る道を東進する。岐阜環状線に出ると、直ぐにマーサ-
21へ着く。
  いつものようにマーサ-21へ行く途中で、Mさんの勤務校の運動場の前の道を9時40分頃に通過した。たまたまそのと
き、Mさんは窓のほうを向いて何か作業をしていたので、マスクをしたMさんの顔と姿がはっきり見えた。
  さて、マーサー21では書店の丸善で2020年から始まる小学校のプログラミング教育の本をずっと見ていた。購入はし
なかったが、そのうちにそのような本が多くなってきたときに購入しようと思った。11時に丸善を出て、マーサー21内で食
事をした。そのため、マーサー21を後にしたのは、12時25分を過ぎていた。
  帰り、OKBふれあい会館に行く途中の11時45分頃ににもMさんの勤務校の前を通ったが、教室前方にカーテンがかかっ
ていたので教室内がわからなかった。

  OKBふれあいか会館内の岐阜学習センターに着くとすぐ視聴覚室で、DVDを見てすごした。昨日は自宅に15時30分
までにかえらなければならなかったので、その予定で行動した。

※3月1日(木)の予定で、午前中に岐阜方面、午後に岐阜学習センターへ行くことを中止することにした。次回は、3月
6日(火)の予定。
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自然数のかけ算の交換法則について 

2018年02月27日 | 算数教育・初等理科教育
2018年2月27日(火)


   
「かけ算の順序強制指導」について私自身の立場を明らかにするために、あらためてこの一文をおこすことにした。まず、数学として

   二項演算→交換法則

について述べた。その数学から主流派の数学教育「学」者の多くが主張する

   2×3が演算の結果のみを表すのでなく、演算方法(演算の順序)も表している

という訳のわからない主張に対して、疑問を提起したつもりである。すなわち、

   2×3は演算結果のみを表している

ということであり、自然数は通常の乗法について交換法則が成立するから

   2×3=3×2=6

である。交換法則を介して、式としては右辺も左辺も同じである。さらに、自然数のかけ算には結合法則も成立するから、3つ以上の自然数のかけ算はかける
順序を気にすることなくどこから計算してもいいことになる。

  
   よく、式2×3と式3×2が違うことを言うために、行列の積や操作の積を持ち出す人がいる。

①   行列について、AB=BAでない
②   a:帽子をかぶる、b:手を頭の上に載せる 操作について ab=baでない
③   化学実験の操作は、非可逆的である

といったように・・・。しかし、行列の積にしても操作の積にしても化学実験の操作にしても、もともと積に関して非可換な演算である。つまり、交換法則が
成立しない世界の話である。それと、交換法則の成立する自然数の積と同列に論ずることは意味がない。それゆえ、「かけ算に順序がある」というこのような
主張は的外れである。


   いずれも、私自身「かけ算の順序」について主張をはっきりさせておく意味でこのブログをまとめてみた。




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1970年3月の大学卒業時の履修単位数について ~現在の大学と比較して

2018年02月26日 | 学校・大学での出来事、教育問題一般等
2018年2月26日(月)


  私は、1975年3月に岐阜大学教育学部小学校教員養成課程社会学科(法経教室)を卒業した。何かで必要になって
取り寄せた成績(単位取得)証明書を見ながら、現在の大学の卒業要件と当時のそれとが大きく違うことを感じた。

  私の岐阜大学教育学部在学中は、1年半所属する教養部と残り期間所属する教育学部に分かれていた。教養部で定めら
れた総単位数52単位と要件を満たさないと、教育学部へは進級できないことになっていた。私は無事に進級できたが、教
育学部で留年するのは取得単位数が教員免許状の取得と密接に関わっているのでそれなりに全く無駄にならないが、教養部
の留年は意味があるものでなかった。
  教養部から各学部への進級要件は、学部によって違い(たとえば、工学部などは第2外国語がドイツ語で6単位)があ
るが、教育学部への進級単位数は、次のようになっていた。

  教養部(一般教育)・・・・52単位以上
   一般教養科目・・36単位以上
    人文科学・・・12単位以上
    社会科学・・・12単位以上
    自然科学・・・12単位以上
   外国語科目・・・12単位以上
    第1外国語・・ 8単位以上・・・英語
    第2外国語・・ 4単位以上・・・ドイツ語またはフランス語
   保健体育・・・・4単位 
    保体実技・・・2単位・・・種目別、冬期はスケート
    保体理論・・・2単位

  教育学部(専門教育)・・・76単位以上?
 
  岐阜聖徳学園大学や放送大学の現在の卒業単位の内訳を見ていると、一番大きな違いは次の点であろう。

①現在は、一般教養科目、専門科目の区別がない。したがって、学部から独立した一般教養をおこなう教養部はなく、1年
次から学部に所属する。私の頃の専門科目に当たる科目も、1年次から学部で履修する。

②現在は、保健体育は必須でない。
③現在の外国語科目の必須単位数は2単位のみであって、私の頃の第一外国語・第二外国語の12単位から大幅に
削減されている。


  大体以上のようであろうか。その中で私が一番気になったのは、外国語科目の単位数の削減である。私の頃は英語が
8単位(1コマ1単位)、ドイツ語かフランス語が4単位(1コマ1単位)の12コマ必要であった。それゆえ、専任の教
員だけでは授業が埋まらず、多数の非常勤講師が教えていた。非常勤講師のなかには雑談ばかりしていて半期で教科書
(英文購読)3ページしか進まなかったという人もいた。それはともかく、現在の大学は私の頃と比べて多くの語学教員
を必要としない履修形態になっている。確かに開講されている語学の種類は、増えたが・・・。ちなみに放送大学では
2018年度に英語、ドイツ語、フランス語、中国語、韓国語、スペイン語、イタリア語が履修できるようになっている。
コース科目のなかでは、ラテン語の履修も可能である。
  また現在の岐阜聖徳学園大学は、成績によって半期間の履修制限を設けている。放送大学には、半期間の履修制限は
ない。私の頃は、教養部も教育学部も履修制限がなかった。そればかりか、教育学部では自由にどの学科のどの授業を受
けてもよかった。私自身は後で述べるが、社会学科、史学科(この2学科は、教科として「社会」であるからお互いに同
一感が強かった)そして国語・国文学科の授業を中心に履修した。

  さて、私は卒業までの4年間で、総単位192単位を取得した。なぜ、卒業単位数を大幅にうわまわる単位数になっ
たのかは、教育学部での教員免許状取得の関係だと思う。小学校1級(現1種)、社会の中学校1級(現1種)、社会の
高等学校2級(現1種)のほかに副専攻として国語の中学校2級(現2種)の教員免許状を取得したからである。参考に、
私が取得した単位数を記しておこう。現在の教員養成系教育学部との違いを見るうえで参考にもなると思う。

  教養部(一般教育)・・・・62単位
   一般教養科目・・46単位
    人文科学・・・14単位
    社会科学・・・18単位
    自然科学・・・14単位 (数学、統計学は、0単位)
   外国語科目・・・12単位
    第1外国語・・ 8単位・・・英語
    第2外国語・・ 4単位・・・フランス語
   保健体育・・・・4単位 
    保体実技・・・・2単位
    保体理論・・・・2単位

  教育学部(専門教育)・・・130単位
    教科専門社会・・・53単位
      法律学(11単位)、経済学(2単位)、日本史(4単位)、外国史(6単位)、地理学(10単位)、
      地誌学(2単位)、哲学(10単位)、宗教学(2単位)、考古学(6単位)
    教科専門国語・・・16単位
      国語学(4単位),国文学・国文学史(8単位)、漢文学(2単位)、書道(2単位)
    小学校教科専門・・18単位
      国語(2単位)、社会(4単位)、算数(0単位)、理科(2単位)、音楽(2単位)、体育(4単位)、
      家庭(2単位)
    小学校教職専門・・16単位
      国語科教材研究(2単位)、社会科教材研究(2単位)、算数科教材研究(2単位)、
      理科教材研究(2単位)、音楽科教材研究(2単位)、図工科教材研究(2単位)、
      体育科教材研究(2単位)、家庭科教材研究(2単位)
    小・中学校教職専門・・・27単位
      教育原理(4単位)、教育心理学(2単位)、児童心理学(2単位)、青年心理学(2単位)、
      道徳教育の研究(2単位)、特殊教育(2単位)、学校管理(2単位)
      社会科教育法(3単位)、国語科教育法(2単位)、
      中学校教育実習(2単位)、小学校教育実習(4単位)

  岐阜大学での取得総単位数が192単位であるとは、我ながら驚く。なお、小学校教科専門の小学校の実技は、音楽
(ピアノ)、図工、体育の3科目から2科目4単位が必須であった。これらはすべて1コマ1単位であった。それ以外は、
たとえば小学校教科専門社会という科目があったわけでない。社会学科・史学科の開講科目を振り替えただけである。その
意味で、教育学部は当時も学芸学部的な色彩が濃く現れていた。
  小学校課程に所属していた私は、卒業のために小学校1級教員免許状取得が絶対条件であった。私は、実技音楽(ピ
アノ)を捨て、図工と体育2単位ずつを取得した。3科目から2科目必須に変更になったのは、先輩達の学生運動の成果
と言えるかも知れない
  今思い出したが、小学校教科専門の音楽(2単位)はピアノ実技でなくわざわざ音楽学科に出かけていって取得した
「音楽史」関係の単位だったと思う。体育(4単位)は実技が2単位で、他の2単位は体育学科へ出かけてとった「緊急
看護」の2単位であった。家庭科(2単位)も、当時私と個人的に親しい人が多かった家政学科へ出かけて取った「食品
学」の単位である。これらは私から友達に頼んだり、あるいは友達から頼まれたりして一緒に2人で他学科へいって履修
したものである。ほとんどが女子学生ばかりの音楽学科や全員が女子学生の家政学科へ1人で乗り込んでいく度胸は、私
にはなかった。ただ、女子学生の少ない社会学科の授業よりも、女子学生に囲まれながら授業をうけるのは楽しかった。
そんな余計なことを思い出した。
  
(追伸)
1.参考までに、放送大学の卒業要件をあげておこう。


卒業要件


2.2018年度に3年次編入学の出願をした私は、岐阜大学教育学部の単位が審査によって最高
62単位まで認定される。総単位数192単位のうち果たして何単位認定されるだろうか?入学後、6月頃にわかる。認
定単位数によって、放送大学の履修計画を考えることになると思う。


編入学の単位認定


3.教員養成に関してのみ述べると、たとえば岐阜聖徳学園大学教育学部の現在と比べて次の特徴がある。

①教育原理などの教職科目が、現在の教員養成系教育学部より少ない。私の頃は、教職科目も小中共通のものがかなりあっ
た。

②教育実習に関する単位数が現在より少ない。事前・事後指導はなく、小学校4週間4単位、中学校3週間2単位(1単位
は教科教育法へ振替)であった。


  全般的に教職科目が重視される現代の教員養成系教育学部に対して、当時は教科専門科目が重視されていた。


4.現在私は、中学校数学1級(1種)、高等学校数学2級(1種)の教員免許状を保持し、数学の非常勤講師として
高校で教えてきた経験がある。また、現在は専門を数学としている。しかし、これらは岐阜大学卒業後のことである。私
の履修単位を見ればわかるように、数学や統計学を岐阜大学のときは全くといっていいくらい履修していない。


       
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中点連結定理の一証明

2018年02月25日 | 数学・数学教育
2018年2月25日(日)


  前回、

  平行線と線分比 ~放送大学の印刷教材『初歩からの数学 '12』より (2018年2月23日)

で述べたことのつづきで、今回は「平行線と線分比」を使って──前回の定理2を使って中点連結定理を証明しよう。
  中点連結定理の証明としては

①平行四辺形の性質を用いて証明する(中2教材)・・・何世代前の大日本図書の教科書の方法
②三角形の相似を使う(中3教材)・・・現在の教科書が採用している方法

が有名である。今回、それ以外の証明をしようと思う。








(追記)

1.先週1週間のアクセス
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期間 2018.02.18 〜 02.24、閲覧数 15,696PV 、訪問者数 4,783IP、順位 510 位 / 2,801,166ブログ
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2.来週の予定
2月26日(月)・・・・ 午前中 海津市医師会病院
2月27日(火)・・・・ 午前中 岐阜市へ
             午後  岐阜学習センターへ
                (中止の場合もある。当日判断)
2月28日(水)・・・・ 放送大学2018年度1学期の履修登録締切日
3月 1日(木)・・・・ 午前中 岐阜市へ
             午後  岐阜学習センターへ
 (3月 4日(日)・・・10:00~ 義父3回忌の法事)
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2018年度岐阜県公立高校の入学志願者数について

2018年02月24日 | 学校・大学での出来事、教育問題一般等
2018年2月24日(土)


  岐阜県教育委員会は、2030年度岐阜県公立高校の入学志願査数についてまとめた。中日新聞から岐阜学区の岐阜市内の5校、大垣市内の4校の
普通科・理数科について引用しておこう。

 
中日新聞2月23日朝刊の岐阜県版より引用

  上記の志願者数は、最終的な結果でなく、志願先変更期間中に変更することができる。変更期間中は、次の各高等学校のホームページに現在の
志願状況が掲載されている。

  各高等学校の出願者数等ホームページ掲載URL一覧表

 ところで、岐阜県の高校入試の日程は、以下のようになっている。

  <変更期間> 平成29年2月23日(金)~2月28日(木)正午まで
        ※ただし2月24日(土)、25日(日)、28日(火)午後、は除く。
  <検査期日> 平成29年3月8日(木)
        ※一部の高等学校では9日(金)にも実施
  <合格発表・第二次選抜募集人員発表> 平成29年3月15日(水)

となっている。定員に満たない高校に対しては、第2次選抜募集がおこなわれる。

  さて、今回の志願者数は、例年と同じような結果を示している。いくつかの特徴を列挙してみよう。

①岐阜学区は、定員に対して岐阜高校(+39名)、岐阜北高校(+51名)、長良高校Ⅰ(+77名)Ⅱ(+11名)、岐山高校普通(+40名)理数(-12名)、
 加納高校普通(+139名)といったように、全体として345名オーバーしている。厳しい入試の状況だと思う。

②西濃学区は、定員に対して大垣北高校(+88名)、大垣東高校普通Ⅰ(+44名)普通Ⅱ(-3名)理数(-11名)、大垣南高校普通Ⅰ(+35名)Ⅱ(+1名)、
大垣西高校普通Ⅰ(+5名)Ⅱ(-6名)といったように、全体としてこちらも153名オーバーしている。こちらも厳しい入試の状況だと思う。

③岐阜高校は30年度から単位制高校に移行するが、昨年度より志願者が減り、ソのことの影響が少なかった。
④西濃学区では、県下有数な進学校である大垣北高校への志願者の集中が著しい。いずれ、調整されると思う。
⑤岐阜県の場合、理数科への志願者は少なく、定員を割っている場合がほとんどである。普通科と理数科との間で、相互に第2志望として志願できる。

いずれにしても、岐阜市や大垣市への高校が多くの志願者を集めている。これは、毎年変わらない。
  なお、今年度から岐阜県は特定な高校に対して県外からの受け入れを認めたが、志願者は1名だったようである。受け入れ校が自らの特徴を出して魅力を高める
努力が必要であろう。

  中学校3年生の受験生には、夢に向かってがんばってほしいと思っている。
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