身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

集合の基礎3 ~集合族

2016年04月30日 | 数学・数学教育
2016年4月30日(金)


  集合族については、高校数学では扱わない。高校数学の数学1では、普通、補集合をおえたあと、命題についての学習に移る。
このブログでは、集合の基礎知識として集合族について整理してみた。
  扱い方は厳密さよりも直感を重んじた。それゆえ、集合族の表記方法に重向きを置くこととなってしまった嫌いがある。

  特に本文では触れなかったが、Uの部分集合A,Bがあったとき、このA,Bも実は集合族になる。{A,B}である。
また、{1,2,3}の部分集合族

    X={{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {1,2},{1,2,3} }

とすると、その部分集合O、

    O={{ }, {1}, {2}, {1,2}, {1,2,3}}

をとれば、Oは

(1) 空集合∅⊂O, 全体集合{1,2,3}⊂O
(2) 任意の O_1,O_2∈O に対して O_1∩O_2 ∈O
(3) O_1∪O_2∪・・・・・・O_k∈O  k=1,2,・・・・,8


を満たしている。すなわち、(X,O)は位相空間になっていて、Oが開集合ということである。このように、位
相空間では集合族が頻繁に出てくる。
  数学では、集合族が登場する場面が多い。その意味で、一度は学習しておく必要があろう。

  




(追記)

1.関連ブログ
   集合に出てくる用語 
   集合の基礎2 ~補集合

2.シランの花が咲く
  昨年海津のグリーンセンターで2株(赤と白)500円で買ってきたシランが芽を出し、花をつけた。白色の方が、花が咲くのが遅い。

 
シランの花

3.mixiのあるやりとり
  1ヶ月前に、岐聖大教育学部理科専修のある過年度卒業生のmixi伝言板に書き込みをしておいた。mixiは匿名が可能なので、全くの
第3者からみたら、誰かわからない。私は誰であるか見当がついているが、面識があるわけでなかった。相手は、私が誰であるか気づいてい
るだろうと思う。
  ・・・・・・・・・
  2016年3月30日  私>1年半前にはじめてつぶやきに書いてにすぐに退会した「みずまんじゅ」さん、今回、岐阜県の教諭として
                新規採用されました。気になっていたので、一言。2016.0330               
  2016年4月 2日  ○>□さん ありがとうございます。
  ・・・・・・・・・・
  1年半前の「みずまんじゅ」さんのつぶやきとmixiの退会のいきさつもあったので、ずっと私自身も気になっていた。○さんが「みずまん
じゅ」さんのつぶやきに応答していたので、一言伝言することにした。

  「聖徳花子」さんの方は、全く反応なし。以前、このブログで取り上げた幽霊会員。伝言だけしておいた。
「聖徳花子」さんは2013年12月下旬に数回私のページにアクセスしてきたきり、反応が全くなくなった。1年に1回ぐらい、私は伝言板に
書き込みをしている。一番最後に書き込んだのが、以下の文である。今後も時々書き込みをしてみようと思っている。
  ・・・・・・・・・・・
  2016年3月27日  私>とにかく、何はともあれおめでとう! 2016.3.27
  ・・・・・・・・・・・

  私はmixiを「みずまんじゅ」さんに合わせるようにいったん退会した。しかし、算数・数学教育のことがmixiに書き込まれたり、活発な議論がな
されていた。それを読むためだけに再加入した。

   
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集合の基礎2 ~補集合

2016年04月30日 | 数学・数学教育
2016年4月29日(金)


  全体集合Uの部分集合Aがあるとき、Aの補集合を考えることができる。

  Uに属し、Aに属さない集合をAの補集合という

補集合を上のように定義してもいい。

  本文では述べなかったが、

  Uの補集合=空集合  空集合の補集合=U

となる。

  補集合の項目で、高校の数学Ⅰの教科書に必ず登場してくるのは、ド・モルガンの定理である。この部分を
高橋陽一郎編『数学Ⅰ』(啓林館)から引用した。



(つづく)

   集合の基礎1 ~集合に出てくる用語 



(追記)昨日の一風景

岐阜市マーサ21そして放送大学岐阜学習センターへ
  午前中に家を出て県道23号線(海津~本巣)で瑞穂市から北方町に入って、北方南小学校前を通る行き慣れた
道で岐阜市の北部、マーサ21の丸善へ。
  余談であるが、北方南小学校、一時期は真剣に見ていた記憶がある。ここ3年前~4年前ぐらいからは、通り道
の目印にしたぐらいで、ほとんど関心をなくしていたようだ。改めてみると、木造建築を思わせるような外観のきれ
いな小学校だと思った。私の地元の石津小学校もそうであるが、心の和む学校だという印象である。
  さて、丸善に行ったが、ほしい本がなかった。仕方がないので、しばらく留まって、岐阜市藪田の岐阜学習セン
ターに戻ることにした。帰りは岐阜環状線(鏡島大橋)を通って午後2時頃にふれあい会館に到着。
  何かの行事があったのか、駐車場がいっぱいであった。ふれあい会館から一番遠い駐車場でも空きがわずかし
かなかった。仕方がないので、雨の中を歩いた。どしゃ降りでなかったのでよかった。

「相対論」ゼミ、2回目
  3時15分からの「相対論」ゼミに参加する。今日のテーマは、同時刻性について。簡単に言うと、離れた2点
にいる2人の時計の時刻を合わせるにはどうしたらいいか?という問題である。
  詳しくは書かないが、ゼミに参加していてよく理解できた。ゼミが終了したのは、5時過ぎであった。


ゼミが行われる福祉会館南側7階の研修室
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岐阜県内の小学校の話題2題

2016年04月28日 | 学校・大学での出来事、教育問題一般等
2016年4月28日(木)


  岐阜県内の小学校の話題を2つ書いておこう。何かを批判するという意図はなく、単なる感想と思って聞き流してほしい。
  最初は、家庭訪問中に家族調査書を紛失したという昨日の中日新聞の記事についてである。もう1つは、今年度の岐阜県の
人事異動について、具体的にある小学校の事例を取り上げたものである。

家庭訪問中に家族調査書紛失
  昨日(26日)の中日新聞朝刊の「岐阜版」の記事に、岐阜県本巣郡北方町立北方小学校のある講師が家庭訪問中に
「家庭調査票」を紛失したという記事が掲載されていた。


4月26日の中日新聞朝刊の「岐阜版より引用

  今頃、岐阜県の小学校では、家庭訪問が行われている時期である。そういえば一昨日(26日)に同じ北方町の別の小学校
の西側の道を行こうとしたとき、児童の集団下校に出会った。その北方町の別の小学校も、26日がちょうど家庭訪問が始まる
日であった。
北方小学校は、記事によると25日から家庭訪問が始まったのであろう。その初日の出来事である。 
  家庭訪問時には効果的な訪問になるために家族構成や児童についての資料を用意する。当然、それらを訪問先の児童の
家に持って行く。持ち出しが禁じられている学校もあるかも知れないが、この時期はじめて持つ児童の家族構成などを記憶す
るなど多くの教員にとって到底できることでない。家族調査票または写しを校外に持ち出すことは、当然と言えば当然であ
ろう。それに伴って新聞記事のようなことが起こるリスクは、当然増える。私としては、

「気をつけてください」

としか言えない。
  昨今、教員による個人情報の流失の事故が多くなった。この記事の隣に岐阜県のある特別支援学校で生徒一人分の個人情
報を記した文書を教員が紛失した記述があった。教師の通勤途上によるUSBメモリーの紛失に伴う児童・生徒の成績などの
個人情報の流失なども、どこかで起きている。「教員による個人情報の流失の事故が多くなった」と書いたが、人々がこのよう
な問題に関心が高くなり、新聞等に報道されるようになったから多く見えるのかも知れない。昔もこの新聞で報道されたような
ことを、私は身の回りで経験した。ただ、そのときは訪問先の児童の保護者が小学校に届けてくれて、無事解決で終わることと
なった。たとえ、教育委員会等に報告が行ったとしても、これほど大きく取り上げられることはなかったであろう。まして、この種の
事件で注意を受けることはあっても、現在のように懲戒処分を受けることはなかった。
  いずれもこうした資料を学校外に持ち出さないと仕事が進まない現実がある以上(たとえば、他に学期末・学年末の成績処
理などもそうであるが)、

   くれぐれも取り扱いは慎重に

としか言えない。家庭訪問のこの時期は、北方小学校のこの出来事を教訓にしてほしいと願う。


ある大規模小学校の教職員人事異動
 facebookに書いたことをもう少し補充して記述する。一昨日、岐阜県瑞穂市教育委員会から入手した今年度4月1日現在の
「瑞穂市学校職員体制一覧表」を眺めていての感想である。
 瑞穂市内で一番大きい小学校、市立穂積小学校は、次のような学校規模である。
   
    児童数 789名 学級数26(普通学級23+特別支援2+通級1)、
        (昨年度は25学級(普通学級22+特別支援2+通級1)
    教員数  36名 うち校長1・教頭1・教諭29・常勤講師4・初任者後補充1
        (昨年度35名・・・うち校長1・教頭1・教諭25・常勤講師8)

  今年の穂積小学校の教職員異動は、大規模であった。校長・教頭をはじめとして17名の教員が入れ替わった。この数字は、
実に全教員の半数弱である。正規の県費負担教職員だけをみると、

    転出・・・・ 校長・教頭・教諭の退職・転任が計10名
    転入・・・・ 校長・教頭・教諭10名・新規採用1名・復帰1名の計14名

となっている。教諭の転入が多かった分、常勤講師の異動が多くなった。昨年度の常勤講師の8人のうち実に7人が異動した。

    転出  残留 1名・・・特別支援教室の1名残留
         異動 7名・・・教諭として新規採用された2名を含め7人
     転入    4名・・・学級担任2名、少人数指導2名

  常勤講師は、1名以外全て入れ替わったことになる。教諭が4名増えたことにより、結果的に常勤講師が半減したことになる。

  細かい数字は別として、市の大きな小学校では、

「こうした大幅な人事異動が行われることもあるんだな」

そして、

「常勤講師の身分は不安定だな・・・・」

と思った。
  ちなみに今年度に穂積小学校に異動して学級担任を持っている常勤講師2名は、私が名前を聞いたことのある岐聖大教育学
部の過年度卒業生である。



(追記)午後は、「相対論ゼミ」

  今日28日の午後は、「相対論ゼミ」に参加する。その前の午前中、24日に行けなかったマーサ21の丸善に先に行ってから、午後
にそこから岐阜学習センターに戻ろうか迷っている。


     












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集合の基礎1 ~集合に出てくる用語

2016年04月27日 | 数学・数学教育
2016年4月27日(水)


  このブログでも集合については多く書いてきたけれど、高校数学の数学Ⅰぐらいから出発するような書き方を
あまりしてこなかった。そおで、今度は基礎からと思って、書いてみたくなった。

  今回は集合に出てくる用語を高校数学の教科書の記述の方法を参考にしながら、

    集合の外延的な表し方と内包的な表し方
    有限集合と無限集合  空集合
    部分集合
    集合の共通部分と和集合


について整理した。合わせて

  「空集合∅はすべての集合Xの部分集合である」

に証明?をつけた。高校数学では証明しないので、今回のブログの目玉である。



(つづく)




(追記)昨日の一風景  ~結局、岐阜市には行けずに終わった午後

  昨日のブログにも書いたように、午後1時頃に瑞穂市巣南分庁舎にある教育委員会で(25日の教育委員会に出さ
れた)今年度4月1日付けの「学校職員体制一覧表」と「保育所職員体制一覧表」をいただいた。すぐに巣南分庁舎を
後にして、瑞穂市北端、北方町経由で岐阜へ向かった。
  瑞穂市はよくわからないので、カーナビ通り行ったけれど道を間違えて、本田小学校の前に出てしまった。本田小
学校は名前を知っていたが、見たのは初めてであった。とにかく本田小学校東側の道から、カーナビ通り狭い道を右折・
左折しながら、海津市から本巣市まで縦貫しているいつもの道に出ることができた。
  あとは、いつも岐阜へ行く道、北方南小のすぐ西側を通る道をあまり雑念にまどわさることなく行く決意をした。
小学校近くまで来たら、ちょうど下校時刻と重なったのかたくさんの児童が集団で正門から出てくるのが見えた。1時
30分ぐらいだっただろうか。児童が多い所を通るのは危険なので、小学校の運動場の南側の道を迂回して、集団下校
と合致あうのを避けた。一度も通ったことのない道だったが、何とか島大橋に通じる道に出た。
  しばらくしたら電話。田植えした水田に水が全くなくこのままでは苗が乾燥するので、これから水を入れるので帰っ
てこいとのこと。ほっておけないので、もどることにした。帰りはいつもの道、南小のすぐ西の道を通って、鏡島大島に
通じる道を西に向かってすぐに本巣と海津を結ぶいつも利用する道に出る。南下して、3時には家に着いた。そして、す
ぐに水田の農作業。
  結局、今日もマーサ21の丸善には行けなかった。もう瑞穂市の巣南分庁舎に行くことはないので、今度はいつも
のコースでマーサ21に行けそうである。
  明日28日は、ふれあい会館の放送大学岐阜学習センターで自習と「相対論ゼミ」がある。こちらは昔に岐聖大へ
通った羽島経由の長良川左岸の堤防道路から行く。学習センターからマーサ21へ行くときは、昨日の瑞穂市・北方町
のコースはとらない。自宅から直接行く場合は、昨日のコースが一番慣れているし、近い。それにしても、瑞穂市の細
かい道は、よく知らないしよく間違える。北方町の方は、道を間違えることがまずない。

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2項演算 ~小学校算数に出てくる数の四則

2016年04月26日 | 算数教育・初等理科教育
2016年4月26日(火)


  小学校算数で登場してくる数は、重複を許すことにして

①0
②正の整数(自然数)
③正の有理数(分数)
④正の有限小数


である。これを見ればすぐ気づくと思うが、負の数がない。したがって、①数の体系としては不十分であり、

   + - × ÷ の四則

について論じるのはあまり数学的に意味があると思えない。
  また、本来、有限小数

  0.34=0.33999・・・・   

は、このように無限循環小数でも表すことができる。しかし、無限小数自体は小学校で登場してこない。そして、

小数の分類は有限小数、無限小数という分類でなく

  無限巡環小数+巡環しない無限小数=実数

であることを考えると、②小数の四則を考えるのはより混乱が生じるだけという気がしないでもない。
  私個人は

  小数で表された数は確かに数であるが、小数自体は数の表現であるとの感覚

を持っている。
  
  とにかく、①及び②を承知の上で、小学校で習う数そのものについてあえて考えてみた。負の数
がないと、数として不十分であることが読み取れるであろう。







(追記)

1. 「常勤講師問題」追究の継続
  昨日(25日)に瑞穂市教育委員会に電話にて改めて
    「平成28年度4月1日 瑞穂市学校職員体制一覧表」
    「平成28年度4月1日 瑞穂市保育所職員体制一覧表」
を依頼した。教育委員会が25日だったので、今日の正午近くにもらいに行くことになった。
  「常勤講師問題」を考えるきっかけを作ってくれたMは、常勤講師から教諭として新規採用されたが、Mに関
わりなく「常勤講師問題」は根深い問題がある。以前にとりあげた各務原教育委員会の会議録を読むと、教員の人事
異動と常勤講師の採用が表裏一体であうことがわかる。そこで、今年も瑞穂市の小中学校を中心に、常勤講師の実態
等を見ていきたいと思っている。
  なお、「瑞穂市保育所職員体制」の資料は、公立中心の瑞穂市と私立中心の海津市の幼児教育・保育のあり方の
ひとつの資料にするためで、「常勤講師問題」とは関係がない。

2.巣南分庁舎を出てからのその後
  瑞穂市教育委員会での用事は5分もかからないので、そのまま岐阜に向かいたい。昨年の8月末以降、瑞穂市教
育委員会で私の名前を覚えらているので、長居はしたくない。
  そのあと、岐阜のマーサ21へ行くには、巣南分庁舎から瑞穂市の北の端へ出てから北方町経由の方が近い。

3.Mの赴任校へのこだわり
  思い出した。今のMの赴任校が開校した後に、何度もその学校の前を通った理由が・・・。ひとつは、今はないが
岐阜のパソコンパーツの「GoodWill」等岐阜の北の方へ行くときの途中の道しるべにしていたようだ。それと、当時地
元の小学校の新築で木を使った校舎になると聞いたので、既に木をふんだんに使った校舎のMの赴任校を外から見てお
こうと思ってのことだったようだ。そのためなのか、岐阜へ行くたびに意識的に校舎前の道を通っていたらしい。
  確かかどうかはよくわからないが、海津市南濃地内の中学校統合についての当時の状況を久しぶりに振り返って見て、
思い出した。
   

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