身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

ヒルベルト-シュミットの直交化を実際に計算して求めて見よう

2015年11月30日 | 数学・数学教育
2015年11月30日(月)


  前回に「計量ベクトル空間には、正規直交基底が存在する」
という定理を、ヒルベルト-シュミットの直交化の手法で
次のブログで証明した。

正規直交基底 ~ヒルベルト―シュミットの直交法

今回は、いろいろな内積が定義された計量ベクトル空間で、基底を与えてその基底を正規直交基底にする具体的な計算を
やってみよう。問題は3問である。

(1)実ベクトル空間で、ユーグリッド計量を与えた場合
(2)複素ベクトル空間で、同じくユーグリッド計量を与えた場合
(3)関数空間で内積を関数fgを0から1までの定積分と定義した場合

の3問について、考えてみた。いろいろな内積が定義されたベクトル空間を考えた方がいいと思ったからである。





(注意)複素ベクトル空間で、後ろから11行目で正規直交基底を取ったときの1次結合で表し、そのスカラーを成分表示して
内積を定義した。しかし、内積自体は任意の基底で1次結合で表して、そのスカラーを成分表示して内積を定義していい。その
意味で、「正規直交基底」という条件は、内積の定義に不要である。




(追記)

1.明日から12月

  明日から12月である。1年が早く感じられた。
  今週は後期中間テスト期間。今週の土曜日、12月5日に医師会病院に行く以外に特に予定はない。今週はテスト採点と
出欠の整理に追われそうである。

2.Facebookに投稿したことより ~11月29日8時30分頃投稿

 啓林館の教科書が高学年まで式の順序にこだわっていることに触れた後の(追記)の一文。以前に書いたことを再び。

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 現在の算数教育「学」は、応用科学としての方法論的自覚が薄いと思っています。研究者の急激な量的拡大が原因かも知
れません。教員養成系教育学部の算数教育研究者には、「数学では正しくても算数では間違いである」とかいうあほらしい
ことを言う人が多すぎます。例えば「5人いるところに3人来た」という加法の増加に関して「単項演算だから5+3が正
しくて3+5は間違いである」とか・・・・こうした算数教育「学」者を私は軽蔑しています。そして、こうした人が関わっ
た算数の教科書は、ひどいものがあります。私は式の順序を高学年までこだわる(文字式にもこだわる)啓林館の「わくわ
く算数」が一番ひどいと思っています。
[ひどい実践例]
ネットでさんざん批判されていましたし、私もブログ・facebookで批判しとことのある、啓林館がいいと認めたあほらしい実践例。
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/jissen/0709/1nen/

(追記)前の事項と直接関係ありませんが、「算数で道徳を」と考えて嘘の歴史である「江戸しぐさ」をこっそり教科書に載
せた啓林館の「わくわく算数」・・・・今度は「『全体をき まった比に分け る』に 該当する ため 」という形式的な理由
をあげて「こっそり」と江戸しぐさの部分を削除しました。嘘を載せたことに対する全く自覚のない無責任な編集者たる算数
教育「学」者等の姿だと思います。
 私がいつも指摘している志水廣氏も『わくわく算数」の編集者のひとりです。この教科書には、愛知教育大学の教職大学
院及び学部の算数教育「学」研究者が多く関わっています。困ったものです。
http://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/tea/sho/news/pdf/h27sansu_text.pdf
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東本願寺の報恩講最終日参拝と西本願寺の見学

2015年11月29日 | 日記
2015年11月29日(日)


東本願寺

  昨日、東本願寺の報恩講最終日の午前中の法要「結願日中」を参拝した。昨年度も参加したが、今年度も土曜日
だったので参加できた。
  朝6時過ぎに集合し、6時20分にバスで京都に向かった。桑名東インターを入って東名阪自動車道→新名神自
動車道→名神高速道路を通って京都南インターで降りて、東本願寺に向かった。8時過ぎには東本願寺の御影堂に入っ
た。報恩講最終日ということもあって、お堂内は参拝客でいっぱいだった。
  8時50分からの「結願日中」の一連の法要に参拝した。2時間20分ほど本堂にいて、私は途中で退室した。
上半身の身振りで表現する坂東曲の次念仏讃を久しぶりに参拝した。
  
  今年の本願寺阿弥陀堂門前のイチョウの紅葉は、まだ早すぎた。御影堂の中は寒かったが、境内は日照りがあって
室内より寒くなかった。


報恩講が行われている東本願寺「御影堂」


修繕中の東本願寺「阿弥陀堂」 
 

西本願寺

  昼食後、2時30分頃に西本願寺に向かった。私はかって西本願寺(浄土真宗本願寺派)系の岐阜教育大学教育学部
中等数学の聴講生として数学を学び、また中途退学したが改名した岐阜聖徳学園大学大学院に在籍していたことがあった。
学部生は入学時に西本願寺に参拝するが、私自身は一度も西本願寺に行ったことがなかった。それだけに、興味深かった。


西本願寺案内図

  西本願寺は世界遺産に登録されてる。御影堂、阿弥陀堂、唐門、飛雲閣、書院が国宝に指定され、阿弥陀堂門な
ど6つの建物が重要文化財に指定されている。見学時間が1時間ほどしかかなかったので、御影堂、阿弥陀堂の中には入
らなかったが、書院を中心に回廊を一周して各部屋のふすま絵など、能舞台などを見学した。

  書院関連の様子を写真で綴っていこう。


見学した書院


書院のふすま絵


書院から庭を望む


書院から国宝「唐門」を望む 

  書院の見学の後、広い境内に出て、国宝である阿弥陀堂、御影堂を望む。


境内の「大銀杏」


国宝、西本願寺「御影堂」


国宝、西本願寺「阿弥陀堂」


  西本願寺の建物群は、素晴らしいと思った。時間があれば、ゆっくり見学したいと思った。

  午後3時40分頃に西本願寺を後にして、帰りは名神高速道路で関ヶ原インターで降りるコースをとった。帰宅した
のは、6時過ぎであった。



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正規直交基底 ~ヒルベルト―シュミットの直交法

2015年11月28日 | 数学・数学教育
2015年11月28日(土)


  ベクトル空間のついて書いているとき、このブログできちんと定義せずに使っていた「正規直交基底」について
整理してみた。
  内積の定義されたベクトル空間を、計量ベクトル空間という。

  計量ベクトル空間には、正規直交基底が存在する

という定理がある。この定理は、構成的なヒルベルト―シュミットの直交法という操作でもって証明される。その証明
をメインに、まとめてみた。また、このヒルベルト―シュミットの直交法は、与えられた基底から正規直交基底を構成
する方法を与えている。次回に、その具体的な計算をして見よう。面倒であるという印象は、つきまとうけれど・・・。

  なお、ヒルベルト―シュミットの直交法についてはほとんどの線形代数学の教科書に載っている。ここでは、易しい
記述がなされている

  志賀浩二『ベクトル解析30講』、朝倉書店、1989

を参照にした。この本の30講めは「リーマン計量」であることからもわかるように、微分幾何学・微分位相幾何学への
いい入門にもなっている。



(注意)ベクトルを標準基底の1次結合で表したときのスカラーの右肩の数字は、指数でなく番号である。
双対空間を考えるときは、よくこのような番号の付け方をする。

(つづく)




(追記)1.昨日の一風景 ~Facebookから
  今日(注27日)の午後、夏休みに「朝ガク」のボランティア活動をした大垣市内の中学校から招待され、「合唱コン
クール」と「ボランティアへの感謝の会」に出席させていただきました。
  午後の授業を変更してもらって、1時15分頃に会場である大垣市民会館に着きました。合唱コンクールは全21ク
ラスが1曲ずつ披露するもので、朝から行われているということです。、3年の出番のうち残り3クラスの合唱を鑑賞し
ました。その後に行われました感謝の会に出させていただいた。生徒から、感謝の花束をいただきました。
  中学生の取り組みが素晴らしかったと思いました。


合唱コンクールのパンフレッド




表彰式のようす


2.京都東本願寺の報恩講のおまいりと西本願寺の見学

  今日は朝6時に集合して、京都へ。京都東本願寺の報恩講のおまいりと西本願寺の見学に出発する。ブログで後日報告
したい。 
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中学数学の2次関数 y=a(x^2) ~大垣日本大学高校の入試問題を解く。

2015年11月27日 | 数学・数学教育
2015年11月27日(金)


  中学3年生の2次関数は、y=a(x^2) のみを扱う。一般の2次関数 y=a(x^2)+bx+c は高校数学(数学Ⅰ)
で扱う。一般の2次関数 y=a(x^2)+bx+cは、aを固定すればy=a(x^2)を平行移動しただけであり、y=a(x^2)と
合同になる。2次関数の基本的な性質は、y=a(x^2)に凝縮されている。その意味で、y=a(x^2)は数学Ⅰにとっても重要
である。

  このブログでは、今年度の大垣日本大学高校の入試問題をとりあげてみた。(1)以外は結構中学生には難しい問
題だと思った。特に(3)は三角形の等積移動を使う必要がある。一度、自分で解いていただきたい。



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関数e^xのベキ級数展開 ~過去の熊本大学入試問題より

2015年11月26日 | 数学・数学教育
2015年11月26日(木)


  授業の空き時間に隣の先生の持ってみえた過去の『数学Ⅲ・C(現在は、数学Cはない)入試問題集』を
借りてぺらぺらページをめくっていたら、興味を引く問題があった。ここでとりあげた熊本大学理学部の入試
問題であった。
  なぜ興味があったかというと、e^xのベキ級数展開

     e^x=1+(1/1!)x+(1/2!)x^2+(1/3!)x^3+・・・・+(1/n!)x^n+・・・・

の証明が誘導の問題形式で出題されていたからである。ただし、上の収束域は、-∞<x<∞であるが、熊本
大学の入試では証明方法の制約から0<=x<=1となっている。
  そういった制約はあるものも、e^xのベキ級数展開の証明ということで興味深い出題だから、紹介しておこう。


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