身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

三角形の辺と角の大小関係 ~初等幾何学から

2015年09月30日 | 数学・数学教育
2015年9月30日(水)


  中学校2年生の図形教材は、大日本図書の教科書『数学の世界』によると次のようになっている。最初に第4章で
「平行と合同」を扱い、第5章で「三角形と四角形」で三角形と四角形の性質を主に合同条件を用いて論証していくこ
とを学ぶ。第5章では、三角形の合同条件は、公理のように扱われる。

  このブログで扱った三角形の辺と角についての基本的な性質は、中学校数学で扱わない。暗黙に認める、つまり公理
的に扱う。高校数学(数学A)の「図形の性質」でも本格的に扱わない。数研出版の教科書『数学A』でも「研究」(P
76・77)に掲載されているのみである。

  このブログを書いたのは、以下の理由による。  
  中学校数学で

   二等辺三角形の両底角は等しい

という定理、三角形の合同を利用して証明される。しかし、この定理は

   三角形の合同を使わずとも証明される

ことを紹介したかったのである。
  合同を用いた「二等辺三角形の両底角は等しい」が循環論法に陥っているとの議論がある。

   http://mathpath.jugem.jp/?eid=24 
   http://ameblo.jp/metameta7/entry-12065973485.html など参照
 
合同を用いなくてもこの定理は証明できる。したがって、循環論法云々をいう必要がない気がする。

  このブログをまとめるのに

   小平邦彦『幾何への誘い』、岩波書店、1991
   小平邦彦『幾何のおもしろさ』、岩波書店


などを中心にまとめた。
 
 






(追記)

昨日の一風景  ~Facebook 9月29日午後9時30分投稿
  期末考査が終了しました。私が担当している数学Ⅰは、今日の2限目、試験の最終日でした。テスト終了後から4クラス
160名強の答案の採点を、一起に行い完了しました。4時間ほどかかりました。
  3年生の大学の推薦の関係で、全学年成績処理の締め切り日が早いのでやれるときに・・・と思っています。ただし、成績
関係の書類を自宅に持ち出すことは原則やりませんので、必要なら明日(30日・・・球技大会)高校へ出かけます。


  
コメント

確率(高校数学)3 ~原因の確率

2015年09月29日 | 数学・数学教育
2015年9月29日(火)


  私自身の教材研究もかねて、数研出版の教科書『数学A』に従って整理してきた「確率」に関するブログの最後に「原因の確率」
と言われる事項を取り上げてみよう。
  高校数学から離れている人は、この見慣れない言葉に戸惑うかもしれない。私もこの「原因の確率」について深く調べることも、問題を
解くことも少なかった。そのこともあって、今回は全面的に数研出版の教科書『数学A』をなぞった。
  このような複雑な確率の問題に対しては、上手に記号を使い、数式で処理していくことが必要かもしれない。この際、中心となる定理は、
「確率の乗法定理」である。乗法定理とは、

   P(A∩B)=P(A)・P_A(B)

である。

  難しいが、教科書の問題を解いていこう。
    



(おわり)




(追記)

1.関連ブログ
 確率(高校数学)1 ~反復試行の確率
 確率(高校数学)2 ~条件付き確率 

2.昨日の一風景
 昨日の朝高校近くの小学校の前を通ったら、正門が閉まっていた。休みであった。そういえば、26日(土)に運動会が行われたので
昨日は振り替えの休みだったのだろう。この小学校に限らず26日(または27日)に運動会を実施した学校は、昨日が振り替え休業日
だったのだろう。
  運動会の月、9月ももう今日・明日で終わりである。そして、2学期制の高校は、前期が今日・明日で終わる。

コメント

確率(高校数学)2 ~条件的確率

2015年09月28日 | 数学・数学教育
2015年9月28日(月)


  高校数学(数学A)の「確率」のうち、初めて登場してくる反復試行の確率」は、確率(高校数学)1で取り扱った。今回は「条件付き
確率
」について述べ、その応用として確率の乗法定理を利用した問題を取り上げた。
  ほぼ数研出版『数学A』の教科書の流れに沿って記述した。問題もこの教科書に例として掲載されているものをとりあげた。数研
出版の教科書をとりあげたのは、全国の普通科高校での採用実績が多いほかに、他に手元にそれしかなかったことも理由である。私が
非常勤講師を勤める高校は、啓林館の『新編数学A』と同じく『数学A』である。高校の数学の教科書は、教材の配列など若干の改善
の余地はあるが、数学的に誤っているということは、皆無である。概してよくできているとの感想を持っている。この点は、小学校『
算数』と大違いである。



コメント

確率(高校数学)1 ~反復試行の確率

2015年09月27日 | 数学・数学教育
2015年9月27日(日)


  高校数学の数学Aの中から、確率を取りあげていこう。この分野は得意でないので、内容的には高校数学の範囲内しかわからない。したがって、
その範囲内で述べていきたい。

  「確率」の厳密な定義はしない。全事象がn通り起こり、このうち事象Aがa通り起こるとする。各事象の起こる場合が同等に確からしいとき、

     事象Aの起こる確率・・・・・a/N

としよう。目に1から6まであるさいころを1回ふったとしよう。特別1の目だけよく出るようなイカサマさいころでない限り、1の目がでる確率
を1/6とするのである。

  なお、関連事項で、小学校6年生では『場合の数』・・・「並べ方や組み合わせ方を調べよう」という単元がある。ここでは、樹形図などを使っ
て、順列・組合せを調べることになっている。関連の部分を引用しておこう。反復試行の確率で、n_C_r の部分が該当している。


大日本図書『たのしい算数6』P88

  中学校も同じようなことを学習する。中学数学では、場合の数とともに初めて確率が登場する。中学数学の確率の導入部分を引用しておこう。


大日本図書『数学の世界2』P188

  そして、高校数学。今回は、反復試行の確率を取りあげる。



数研出版『数学A』P54 より
コメント

線形作用素4 ~正規作用素についてつづき

2015年09月26日 | 数学・数学教育
2015年9月26日(土)


問題 対角可能な線形作用素Aがあったとき、Aの固有値に対応する固有空間によって、ベクトル空間Vが
     V=E_1⊥E_2⊥・・・・・・・⊥E_s
直交分解できるための作用素Aの条件を求めよ。


で、前回の

線形作用素3 ~正規作用素について

において、その必要条件が正規作用素であることを示した。今回は、十分条件を示す。今回もその証明は、

  志賀浩二『固有値問題30講』(朝倉書店、1991)

をなぞった。最後に、対称作用素A(正規作用素の1種)の固有空間を求めて、Aの直交分解を具体的に紹介した。








(追記)

1.昨日の一風景

個別指導・・・・・facebookから 9月25日21時15分投稿

  今日から前期の期末考査が始まりました。明日の2限目に数学Aと数学Bの試験があることもあって生徒からの質問がありましたで、
今日の午後に個別指導をしました。ただし、私が教科担任をしている生徒ではありませんでした。担当の先生が見えなかったので、
私が質問に答えることになったわけです。だから、全く顔を会わせない生徒ばかりでした。
 最初は、数学Aで特進コースの生徒でした。確率に関する質問で、プリント1枚全て説明しました。独立試行の確率、反復試行の確
率中心でした。私自身得意な分野でないので、自分でも納得できるように基礎的なことを時間をかけて説明しました。
 次は、数学Bの「数列」。2年生の総合進学全クラスに配られた対策プリントの漸化式の問題を中心に質問に答えました。
 普段、私は非常勤講師なので、放課後まで残っていることがほとんどありません。今日のようなテスト前でないと、個別指導がで
きない事情もあって、ていねいに指導しました。

明日の小学校運動会

  帰り、高校のすぐ近くの小学校で児童が入場門づくりなどの今日の運動会準備をしていた。一昨日雨で、昨日も午前中雨だったの
で、運動会の総練習が準備ができなかったことであろう。
  今日はすっきり晴れないけれど、雨が降らない。運動会ができるであろう。今日運動会を予定している小学校(中学校)は、実施
できることだろう。
  
2.関連ブログ
線形作用素1 ~射影作用素
線形作用素2 ~随伴作用素
行列の対角化 ~対称行列を直交行列で対角化する
直交補空間 ~数学B(高校数学)のベクトルで考える
線形作用素3 ~正規作用素について
コメント