身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

ある定積分の公式 ~放物線とx軸とで囲まれる部分の面積

2014年04月30日 | 数学・数学教育
2014年4月30日(水)


 今日で4月も終わり。
 この4月に新しく社会人になった人も、おそらく何が何だかわからまいまま忙しさに忙殺されて、いつの間にか1ヶ月
が過ぎたといったところだろうか。特に教職に就いた人は、よくわからないまま初日から授業・学級経営その他全てをこ
なしていかなければならなかったから、大変だったと思う。新社会人ほどでないが、私も新しい環境に最初は戸惑った。
1ヶ月過ぎて、ようやく慣れてきた感じである。

 今日は、数学Ⅱで有名な定積分の公式を紹介する。証明は数学Ⅱの範囲を逸脱する――(x-a)^n の積分は数学Ⅲ――が、
この程度の積分ならできるであろう。




 この公式は、有用である。例2のような放物線とx軸で囲まれた部分の面積を求める問題の場合、積分の上端・下端が複雑
な数になるとき、大幅に計算を省略してくれる。



(追記)

若干の注意
  (ax+b)^n を積分する公式を導くの普通は置換積分を用いる。しかしここでは、数学Ⅱのみを学んだ生徒にも何とか理解で
きるように微分の逆演算としての積分という考え方で説明した。

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高等学校の教育課程  ~大きく変わった理科

2014年04月29日 | 学校・大学での出来事、教育問題一般等
2014年4月29日(火)


  ゆとり教育からの脱却を目指して新学習指導要領による教育課程が小学校で平成24年度から、中学校で平成25年度から実施されてきた。
高等学校は、大学入試等の関連もあって小中学校のように全学年一斉に教育課程が変わることはない。平成25年度入学生から(数学・理科に
ついては平成24年度入学生から)随時切り替わっていくことになった。今年で全学年が新指導要領のもとでの教育課程に切り替わった。来年度の
大学入試センター試験は、新教育課程の教科・科目と内容のもとで実施されることになる。
  高等学校の教育課程については、なぜか小中学校のそれよりも騒がれることが少ない。一般に保護者に関心がないのか、またその内容がわか
らないからだろうか?小中学校では例えば算数・数学の時間数がほんの少し変わっただけで大きな議論を呼ぶが、高等学校の教育課程については
小中学校よりも大きな変更があっても、ほとんど関心を呼ばないまま、また変更点を知らないまま過ぎていく。

  新教育課程で大きく変わったのは、数学と理科である。数学は、科目名の変更はそれほどない。従来の数学Ⅲがなくなり、その内容の多くが
他の科目に振り分けられた。数学基礎がなくなり、新たに数学活用が設けられた。必須は数学Ⅰの2単位である。

数学改訂前 ( )内の数字は標準単位
数学基礎(2)、数学Ⅰ(3)、数学Ⅱ(4)、数学Ⅲ(3)、数学A(2)、数学B(2)、数学C (2)

改訂後 
数学Ⅰ(3)、数学Ⅱ(4)、数学Ⅲ(5)、数学A(2)、数学B(2)、数学活用(2)

 私が担当している数学Ⅱは、変更のほとんどない科目である。いろいろな式、図形と方程式、三角関数、指数関数と対数関数、微分と積分
といった内容で、数学Bの数列とベクトルと併せて伝統的な内容となっている。

 数学に対して、理科は科目名も含めて大きく変動している。

理科改訂前 ( )内の数字は標準単位
理科基礎(2)、理科総合A (2)、理科総合B(2)、物理Ⅰ(3)、物理Ⅱ(3)、化学Ⅰ(3)、化学Ⅱ(3)、生物Ⅰ(3)、生物Ⅱ(3)、
地学Ⅰ(3)、地学Ⅱ(3)

改訂後
科学と人間生活(2)、物理基礎(2)、物理(4)、化学基礎(2)、化学(4)、生物基礎(2)、生物(4)、地学基礎(2)、地学(4)
理科課題研究(1)

 理科は、数学と違って科目間の差も大きい。数学Ⅱの担当者が他の、例えば数学Ⅲや数学Bを同時に担当することは普通である。しかし、理科の場
合は、物理の担当者が生物も受け持つことは、ほとんどない。教員採用も、物理・化学・生物・地学の四領域に分けて実施されている。
 私は今回導入された「基礎」のつく科目の内容を知らないが、指導要領改訂のたびに大きな科目の変動をみる理科・・・・・高校で何をどれだけ学ばせる
のか数学以上に難しいのであろうか?
 なお、センター試験は、①基礎のつく科目2科目、②物理、化学、③生物 ④地学のうちで①と②~④の2つのグループに分けて実施されるようであ
る。①のみ、①と②~④の1科目、②から④の1科目又は2科目の組合せになるようである。いずれにせよ、高等学校の教育課程で理科ほど複雑な、そ
して大きく変動する教科はない。高校の教員採用にも影響するので、注視している。



(追記)

岐阜県の平成26年度採用高等学校理科の教員採用試験状況
 数字は順に、出願者数→受験者数→1次試験合格者数→内定者数

数学     81→75→39→22

理科(物理) 20→16→10→6
理科(化学) 28→25→12→6
理科(生物) 49→42→17→6

 地学は授業時間数が少ない学校が多いのか、教員の採用がない。








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昨日は、農作業

2014年04月28日 | 日記
2014年4月28日(月)


  大型連休の2日目、昨日は農作業を行った。午前中、草刈り機での畑の草刈りとミニ耕耘機での畑の耕し・・・・
と忙しかった。サツマイモを植える場所づくりである。毎年、5月の初めにサツマイモ50本近くの苗を植える。




サツマイモを植えるための土作りのために起こした土地

  午後は、花壇の草取りをした。そのとき、鮮やかな葉をつけた紅しだれの葉の上にいたキリギリスの幼虫?
を見つけた。珍しかったので、写真に撮った。


鮮やかな紅しだれ


紅しだれの上のキリギリスの幼虫?

  その後、プリンスメロンの苗3本と小玉スイカの苗2本、それにサツマイモの苗50本、ゴーヤの苗を買って
家に帰った。早速、プリンスメロンの苗3本と小玉スイカの苗2本を植えた。植え方は、ええかげんなところも
あるが、雨の前に植えたかったこともあった。


スイカとプリンスメロンを植えた場所


小玉スイカの苗


プリンスメロンの苗

  とにかく疲れた。



(追記)
  
農作業は?
  毎年のことだが、大型連休中は農作業で忙しい。サツマイモ、トマト、ピーマン、カボチャなどの野菜の植え付け・・・・・
畑作だけでなく、本当は稲作もある。稲作の方は、事実上できないことがわかっているので、作業の多くを委託した。
  連休中に遠出する予定はないが、近くの商業施設で買い物、食事等のちょっとした楽しみ方をする。雨の日は、な
かなかできない物理学の勉強をしなければならない。
  とにかく、今日・明日と休み。30日・5月1日が出勤日で、3日~6日まで四連休。連休でしかできないことをす
ることにしよう。








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直線と点との距離を求める公式 ~2013年大阪大学文系前期入試問題から

2014年04月27日 | 数学・数学教育
2014年4月27日(日)

    
  2013年大阪大学文系前期入試問題に、直線と点との距離を求める公式の証明が出題された。このような
基本公式を証明させる問題の出題が国立大学を中心に最近多くなったが、受験生は苦手であろう。解法として、
平面座標の計算による方法と法線ベクトルを使う2通りの証明方法を示した。見ればわかるが、ベクトル利用の
数学Bによる解法の方が、簡単にできる。解法は一般的でどこの数学Ⅱの教科書、参考書にも掲載があるので、
計算の技巧的な部分はそちらを参考にされたい。
  私も先週の金曜日にこの部分を授業で扱ったが、一般的な方法で公式を導くことはしなかった。むしろ、実
際に直線と点との距離を求めることに重点を置いた。大阪大学のような国立大学を目指す受験生は、やはり文系
でもこの程度の証明が出来ないとだめなのだろうか。




  座標を用いて図形を研究していく数学の分野は、解析幾何学と呼ばれている。数学Ⅱで
は、主として直線・円、さらに不等式の表す領域や点の軌跡などを扱う。この分野は、ベクトルが活躍するところ
である。例えば直線の方向ベクトル、法線ベクトルなど、よく利用される。直線 ax+by+c=0 の 法線ベクトルは
 (a,b)とすぐにわかる。方向ベクトルは(b,-a)と、これもすぐにわかる。これらを利用すると、2直線の垂直条
件、平行条件など直観的に理解できる。
ただし、ベクトルは数学Bの内容で、現段階でベクトルを利用することは出来ない。今授業をしている数学Ⅱ
の内容は、ベクトルの履修後、もう一度やり直すといいのかも知れない。
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平面上の直線の方程式 ~数学Ⅱの授業から

2014年04月26日 | 数学・数学教育
2014年4月26日(土)


  現在私は、ある私立高校で数学の非常勤講師として数学Ⅱを担当している。その高校の総合進学コースの文系2年生は、
数学Ⅱ+総合数学(数学Ⅱと区別していない)で4単位、数学Bが2単位で構成されている。文系としては多めの数学履修と
なっている。
  現在、第2章の「図形と方程式」で直線の方程式の部分が授業内容となっている。数学が苦手な生徒の多いクラスである
から、基礎・基本を重視した授業に心がけている。ときには、中学数学の関連項目の説明も含めながら授業を進めている。

  ところで、直線の方程式の項目で

  傾きがmで点(p,q)を通る直線の方程式は
       y-q=m(x-p)
で与えられる
 

との証明がでてきた。これをどのように進めるか・・・・・いろいろなやり方を考えて見た。それを紹介してみよう。







  三通りの方法を紹介したが、どれがいいといった問題でなくて生徒の実態に合った方法を選べばいいと思う。



(追記)

大型連休
  大型連休に入った。私の出勤日は、4月30日、5月1日の2日のみだから、大型連休中はゆっくりできる。ただ、農
作業も結構多く、あまりゆっくりできないかも知れない。


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