身勝手な主張

日々感じた様々なことを、自分勝手につぶやき主張します。

単位元を持つ可換環の例 ~2/3+4/5=6/8,2/3×4/5=8/15がなりたつ世界

2018年08月27日 | 数学・数学教育
2018年8月27日(月)


  小学校5年生で分母が違うたし算を習いはじめると、

  2/3+4/5=(2+4)/(3+5)=6/8・・・・・(A)

のように計算する一部の児童が見られる。普通、

  2/3+4/5=10/15+12/15=(10+12)/15=22/15・・・・・(B)

と計算する。
  確かに、(A)は通常の分数の計算として誤りである。しかし、(A)のように計算する代数系がある。
ここでは、
  
  2/3+4/5=6/8
  2/3×4/5=8/15

が普通に成立している。

  今、

  M={(a,b)|a,bともに有理数}

として、(A)が成立する代数系を考えるために

  加法 (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) ・・・ (a,b),(c,d)∈M
  乗法 (a,b)×(c,d)=(ac,bd) ・・・ (a,b),(c,d)∈M-{0}

と一般的に定義しておこう。すると、  

   (M,+,×)は単位元を持つ(可換)環となるが、体でない

ことが言える。

  一方、通常私たちが使って計算している(B)が成立する代数系は

  加法 (a,b)+(c,d)=(ac,bc+ad) ・・・ (a,b),(c,d)∈M
  乗法 (a,b)×(c,d)=(ac,bd) ・・・ (a,b),(c,d)∈M-{0}

と、加法と乗法を定義する。このとき、

   (M,+,×)は体である

ことがわかる。
  (A)(B)とも

   (a,b)=b/a

と定義して得られる式である。


  今回、

   (A)の場合・・・・(M,+,×)は単位元を持つ(可換)環となるが、体でない

ことの証明を示した。









(追記)

1.先週1週間のアクセス
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  ブログへの閲覧数が8月26日(日)までに350万PVを超えた。多くのアクセスに、感謝したい。

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    閲覧数・・・・・3,501,450 PV

  今後ともこのブログで「身勝手な主張」をしていきますので、、応援をよろしくお願いしたい。
  




  

  
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