身勝手な主張

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4次元立方体の頂点、辺、面、(3次元)立方体の数

2012年06月13日 | 数学・数学教育
                         2012年6月13日(水)

 4次元立方体の頂点、辺、面、(3次元)立方体の数を求めてみよう。

 先ず、(3次元)立方体から。立方体は、平面上におかれた正方形を、辺の長さだけ平面に垂直に平行
移動すればできる。このとき、

区分・・・・・・・・・・・・・・頂点   辺   面
移動前の正方形    4    4    1
移動後の正方形    4    4    1

であるから、移動中に頂点、辺、面、がいくつできるか考えて、上の数に加えればよい。

  一般的に、
   頂点が移動→辺 辺が移動→面 面が移動→立体
ができる。
すなわち、移動中に頂点はできず、4頂点の移動により辺が4つ、4辺の移動によって面が4つ増える。
まとめると、

区分・・・・・・・・・・   頂点   辺   面
移動前の正方形     4    4    1
移動中にできる     -    4    4
移動後の正方形     4    4    1
合計・・・・・・・・・・・・・・ 8   12    6

となる。

4次元立方体を考えよう。3次元の推察から4次元立方体は、3次元立方体を縦軸・横軸・高さの軸のいず
れにも垂直?方向に平行移動すればできる。
 このとき、6つの面が平行移動すれば、移動中に6つの3次元立体ができることに留意する。

表にしてみよう。  

区分・・・・・・・・・・・・・・      頂点     辺     面   3次元立方体
移動前の立方体          8     12    6      1
移動中にできる         ―     8   12     6
移動後の立方体          8     12    6      1
合計・・・・・・・・・・・・・・   16     32   24      8



となる。これで4次元立方体の頂点、辺、面、(3次元)立方体の数がわかった。

5次元、6次元、・・・一般にn次元立方体の頂点、辺、面、3次元立方体、・・・(n-1)次元立方体の
数も、上の表を作れば簡単に求められる。
 
 (追記)普通、立方体は球と位相同型(同相)という意味では3次元でなく2次元になる。
しかし、ここでは混乱を避けるため、その立体が収まっている空間の次元で○○次元立体と呼ぶことにした。
     言わば、中身が詰まった立体として次元を考えた。以下4次元以上も同じ。
    
    
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