大学受験レベルの数学を中学生の力で解いてみる！

先週末は某私立大医学部の入試を息子が受験。電話で「どうだった」と尋ねると、「女の子は綺麗だし・・・」なんて言い出す息子。
「てめぇ何しに大学へ行ったんだ！」ヽ(`Д´)ﾉﾌﾟﾝﾌﾟﾝ　と言うと真面目な話を始めたが、英語と数学は高校の定期試験レベルでも、生物と化学は『糞』難しかったそうだ。
息子の話では、その大学医学部専門に対策する塾があるそうで、やはりそういうところで勉強しないと難しいかも。
持ち出し厳禁な入試問題を試験の立ち会いをされる先生がスマホで撮影していたそうで、そうやって塾では入試対策をするのだろう。
火曜には合格発表があったが、当然息子の名前は無しｗ。私が見ていても、とてもそんなレベルではない。

さて、先週末の記事で出題した数学の問題の解答をしよう。

問　∠Ａの角度を求めなさい。



問題集の模範解答



２つの辺の長さと １つの内角の大きさが分かっていれば、もう 1 つの辺の長さが決まるという第二余弦定理を利用してｃｏｓＡ＝－（√３－１）／（２√２）を求め　Ａ＝１０５°と答えているのだが、関数電卓も三角関数表も使わずに　ｃｏｓＡ＝－（√３－１）／（２√２）　から　Ａ＝１０５°をどうやって求めるかと言うのが息子から私への質問だった。

三角定規の角度である３０°・４５°・６０°の三角関数の値を知っているのは教科書レベルで中学生以上なら常識だが、それ以外はどうするか？教科書レベルでも苦しい私に分かる訳も無く、別の方法で解いたのだが、taiyaiさんが三角関数の加法定理を教えて下さったので紹介しよう。

三角関数の加法定理　ｓｉｎ

ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡ・ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡ・ｓｉｎＢ
ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝ｓｉｎＡ・ｃｏｓＢ－ｃｏｓＡ・ｓｉｎＢ

ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（４５°－３０°）＝ｓｉｎ４５°・ｃｏｓ３０°－ｃｏｓ４５°・ｓｉｎ３０°
　　　　　　＝（１／√２）（√３／２）－（１／√２）（１／２）＝（√３／２√２）－（１／２√２）
　　　　　　＝（√３－１）／（２√２）＝（√６－√２）／４

ｓｉｎ７５°＝ｓｉｎ（３０°＋４５°）＝ｓｉｎ３０°・ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ３０°・ｓｉｎ４５°
　　　　　　＝（１／２）（１／√２）＋（√３／２）（１／√２）＝（１／２√２）＋（√３／２√２）
　　　　　　＝（√３＋１）／（２√２）＝（√６＋√２）／４

ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ（６０°＋４５°）＝ｓｉｎ６０°・ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ６０°・ｓｉｎ４５°
　　　　　　　＝（√３／２）（１／√２）＋（１／２）（１／√２）＝（√３／２√２）＋（１／２√２）＝ｓｉｎ７５°

ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ７５°に気が付いて調べると補角公式というそうだ。（全く覚えてないが、高さは一緒だからだなｗ）

ｓｉｎ１０５°＝ｓｉｎ（１８０°－７５°）＝ｓｉｎ７５°

ｓｉｎ１２０°＝ｓｉｎ（１８０°－６０°）＝ｓｉｎ６０°

ｓｉｎ１３５°＝ｓｉｎ（１８０°－４５°）＝ｓｉｎ４５°

ｓｉｎ１５０°＝ｓｉｎ（１８０°－３０°）＝ｓｉｎ３０°

三角関数の加法定理　ｃｏｓ

ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ－ｓｉｎＡ・ｓｉｎＢ
ｃｏｓ（Ａ－Ｂ）＝ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＡ・ｓｉｎＢ

ｃｏｓ１５°＝ｃｏｓ（４５°－３０°）＝ｃｏｓ４５°・ｃｏｓ３０°＋ｓｉｎ４５°・ｓｉｎ３０°
　　　　　　＝（１／√２）（√３／２）＋（１／√２）（１／２）＝（√３／２√２）＋（１／２√２）
　　　　　　＝（√３＋１）／（２√２）＝（√６＋√２）／４

ｃｏｓ７５°＝ｃｏｓ（４５°＋３０°）＝ｃｏｓ４５°・ｃｏｓ３０°－ｓｉｎ４５°・ｓｉｎ３０°
　　　　　　＝（１／√２）（√３／２）－（１／√２）（１／２）＝（√３／２√２）－（１／２√２）
　　　　　　＝（√３－１）／（２√２）＝（√６－√２）／４

これも補角公式があるそうで・・

ｃｏｓ１０５°＝ｃｏｓ（１８０°－７５°）＝－ｃｏｓ７５°

ｃｏｓ１２０°＝ｃｏｓ（１８０°－６０°）＝－ｃｏｓ６０°

ｃｏｓ１３５°＝ｃｏｓ（１８０°－４５°）＝－ｃｏｓ４５°

ｃｏｓ１５０°＝ｃｏｓ（１８０°－３０°）＝－ｃｏｓ３０°

マイナスが付くのは底辺が逆向きだからかな？ｗ

補角公式や加法定理は「ウィキペディアの三角関数」のページ、大学受験対策の三角関数については「高校数学の基本問題の三角関数の加法定理，倍角公式，３倍角公式，半角公式」のページを参考にして欲しい。

息子の数学のレベルが低い話を妻としていると、高校数学の塾へ通っている娘曰く『「１５°と７５°の２つだから三角関数の値は暗記しろ」って塾の先生が言ってたよ」だそうだ。それと補角公式で足りるってことだ。

息子へ電話して「おめぇは今まで何を勉強してんだ！全然足りねぇじゃねぇか！！！」と叱る私。親が足りないから子が足りなのだが、悔しいったらありゃしない。（大恥ｗ）


私、メンカームの別解答
上の方法で解けなくてやった別の解法。ｃｏｓＡの値に見覚えが無いのでｃｏｓＢの値から角度を調べようとした。

ｂ²＝ａ²＋ｃ²－２ａｃ・ｃｏｓＢ
（２√３）²＝（３＋√３）²＋（√６）²－２（３＋√３）・√６・ｃｏｓＢ
２（３＋√３）・√６・ｃｏｓＢ＝（３＋√３）²＋（√６）²－（２√３）²
２√６（３＋√３）・ｃｏｓＢ＝９＋３＋６√３＋６－１２
ｃｏｓＢ＝（６√３＋６）／（２√６（３＋√３））＝（６（１＋√３））／（２・√６・√３（１＋√３））
　　　　＝６／（２・√２・√３・√３）＝１／√２
点Ａから辺ＢＣの垂線を引き、辺ＢＣとの交点をＤとする。

ＢＤ＝ＡＢ・ｃｏｓＢ＝√６×（１／√２）＝√３
ＤＣ＝ＢＣ－ＢＤ＝３＋√３－√３＝３
ｃｏｓＢ＝１／√２　より　∠Ｂ＝４５°
ＡＤ＝ＡＢ・ｓｉｎＢ＝ＡＢ・ｓｉｎ４５°＝√６×（１／√２）＝√３



ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝ＡＤ／ＡＢ＝√３／√６＝１／√２
∠ＢＡＤ＝４５°

ｃｏｓ∠ＣＡＤ＝ＡＤ／ＡＣ＝√３／（２√３）＝１／２
∠ＣＡＤ＝６０°

∠Ａ＝∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝４５°＋６０°＝１０５°



答え　∠Ａ＝１０５°


JIMMYさんから頂いた解答

大学入試という事なので、じっくり解法ではなく、高速解法でやってみます。所要時間1分。

AからBCに垂線を下ろし交点をDとします。三平方の定理で
三角形ABDはBD^2+AD^2=AB^2=6、三角形ADCはCD^2+AD^2=AC^2=12
※BCは3+√3ですが、BD=√3、DC=3のようですね。

そうなるとAD=√3だから
三角形ABDは直角二等辺三角形なので∠BAD=45°
三角形ADCは正三角形を半分にした形なので∠CAD=60°
∠BAC=45+60=105°です。

※は瞬間的に閃くと解くのが速くなります。




メンカームのコメント
先ずはいつも協力して下さるJIMMYさんへ感謝！m(_ _)m
ピタゴラスの定理を利用して解いてあり、この方法なら中学生でも解ける。
私がもう少し細かく解説しよう。



ＢＤ＝ｘ、ＡＤ＝ｈ　とする。
三角形ＡＢＤについてピタゴラスの定理の式を作ると
ＡＢ²＝ＢＤ²＋ＡＤ²
（√６）²＝ｘ²＋ｈ²　---①

三角形ＡＣＤについてピタゴラスの定理の式を作ると
ＡＣ²＝ＣＤ²＋ＡＤ²
（２√３）²＝（３＋√３－ｘ）²＋ｈ²
１２ ＝ ９＋３＋ｘ²＋６√３－２√３ｘ－６ｘ＋ｈ²
ｘ²＋ｈ²＋６√３－２√３ｘ－６ｘ＝０
①よりｘ²＋ｈ²＝（√６）²なので
（√６）²＋６√３－２√３ｘ－６ｘ＝０
（６＋２√３）ｘ＝６＋６√３
ｘ＝（６＋６√３）／（６＋２√３）＝（６（１＋√３））／（２√３（１＋√３））＝３／√３＝√３

①より
（√６）²＝ｘ²＋ｈ²
６＝３＋ｈ²
ｈ²＝３
ｈ＝√３

ＤＣ＝ＢＣ－ＢＤ＝３＋√３－√３＝３



三角形ＡＢＤの辺の長さの比は　ＡＤ：ＢＤ：ＡＢ＝√３：√３：√６＝１：１：√２　なので、
三角形ＡＢＤは、直角二等辺三角形の三角定規（４５°４５°９０°の角をもつ）と相似。
よって∠ＢＡＤ＝４５°

三角形ＡＣＤの辺の長さの比は　ＡＤ：ＡＣ：ＣＤ＝√３：２√３：３＝１：２：√３　なので、
三角形ＡＣＤは、正三角形を半分にした直角三角形の三角定規（３０°６０°９０°の角をもつ）と相似。
よって∠ＣＡＤ＝６０°



∠Ａ＝∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝４５°＋６０°＝１０５°

答え　∠Ａ＝１０５°

大学入試対策問題集からの設問だが、中学生が知っているピタゴラスの定理で解けた。＼(^o^)／

もう数学はエエよと否定的な声が聞こえそうだが、中学生向けのサマーコムカニッタサー問題集より今週の１問。（シリーズ化か？ｗ）
問題集の模範解答を見ても意味が分からなかった問題。私は別の方法で解いた。

問　四角形ＬＭＮＡの面積を求めなさい。（誤記修正しました。m(_ _)m）



タイの中学生向け数学ギフテッド問題の記事へのリンク→#高１入試ギフ

タイの高校生向け数学入試問題の記事へのリンク→#大学入試


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