先日の記事「受験戦争 もう一つの情報戦！」で紹介したソソボト試験の小学生の問題。
バンコクの塾の先生の解答と私の解答が合わなくて困っていた奴だ。
こちらが問題。
日本語で問題を簡単に書くと、「総ページ数が１００ページに満たない本があり、中のページを１枚破り捨てた後に、その本のページ番号を全て足すと４２６になる。破り捨てたページ１枚の一番少ないページ番号を答えなさい。」
そしてこちらがフェースブックで探してきた某塾の先生の解答。
先ずは私の怪答ｗ
本のページ番号を足した合計は1+2+3+・・・+ｎで表される。
破って捨てたページ１枚には表と裏に２つのページがあり、
表のページをxとすると、裏のページはx+1となり、
捨てた１枚のページ数の和は2x+1と表される。
本のページ番号を足した合計1+2+3+・・・+ｎを求める式はｎ(n+1)÷2であり
本のページ数の合計 - 破り捨てた1枚の表裏のページ数の和 ＝ 426 なので
ｎ(n+1)÷2-(2x+1)=426 となる。
式を変形し
ｎ(n+1)=852+2(2x+1)
n(n+1)=854+4x
ここで本の最後のページｎを適当に決めてみるのだが、
ｎ(n+1)が854+4xだから30の二乗で900くらいかなって感じで、
n=30にしてみると・・
ｎ(n+1)=30×31=930=854+4x
4x=76
x=19
本の最後のページｎを増やすと、破り捨てたページｘが増えてしまい、
求めるのは一番少ないページ番号なので、ｎを更に増やして計算するのは不適当。
次にn=29としてみると・・
ｎ(n+1)=29×30=870=854+4x
4x=16
x=4
更に少ないページ番号が見つかった。
更に１ページ減らしてn=28だと
ｎ(n+1)=28×29=812=854+4x
4x=-42
xは自然数（正の整数）にならない。
本の最後のページｎを更に減すと、破り捨てたページｘも更に減り、
自然数にはならないので、ｎを更に減して計算するのは不適当。
これらの結果より、破り捨てた1枚の少ない方のページ番号ｘは４だと思ったのだが、
山口の空の下からさんより「 破った最小のページは奇数のはず」と御指摘頂き、
本棚のどの本を見ても確かにそう。
そういうことで、正解は塾の先生と同じく１９ページとしたいが、
製本の常識から外れても表紙の裏からページは振れるじゃないかと思う常識外れな私。ｗ
前提条件として特に指定もないので何か釈然としないひねくれ者ｗｗｗ。
次は通りすがりの者さんから、コメント欄へ頂いた解答。
(1+n)*n/2=A + {j + (j + 1)}
A=426
1.まずは目ッソで2A (426 x 2 = 856) の近場の開平法
30 x 30 =900
29 x 29 =841
28 * 28 =784
これで (1+n)xn/2 を計算すると、 30:465, 29:435, 28:406 (X: ＜426)
{j + (j + 1)を求めるため、465, 435から A(=426) を引く。
(A) 465 - A=39 (= 19page + 20page ),
(B) 435 - A= 9 (= 4page + 5page )
ここで解答は、
「山口の空の下から」さんのご指摘の通り、奇数ページから始まっているなら (A)が、
ブログ主殿が思われたように最初のページが表紙で page-0 からなら (B) となる。
その辺がどこまで設問で定義されているかは不明だが、さすがに小学生では、前述の条件をつけて２つの解を提示できないと思われるので、設問で条件が附されていなければ、どちらも正解としてやって欲しい。
通りすがりの者さんから頂いた解答はここまで。
そうですね。小学生ですからどちらも正解にしてやりたいところ。
続いてtaiayiさんから、コメント欄へ頂いた解答。
難問に挑戦しました。
等差級数を使いました。１からnの合計は
n(n+1)÷２ です。これからページ合計４２６の場合
は、ページをやぶるのですから、n(n+1)は
４２６ｘ２＝８５２より大きくなければなりません。
そうすると、ｎは２９になります。29ｘ30＝870です。
mページを破るとすると、引くかずは２ｍ+１です。
総ページｎが２９の時のページ合計は４３５です。
４３５－（２ｍ+1）＝４２６
を解きます。答えはｍ＝４です。
破ったページは４ページになりました。
しか改めて、手近の本を見れば、
確かに、紙に打たれているページの小さい番号は奇数ですね。表紙にはページ数は打たれていません。
タイの算数は，本の作り方まで生徒に要求するのですね。
答えは奇数に限るとのただし書きがあるかもしれません。まあタイ語ですから、ここまではメンカームさんにはタイ語は読めません。無理ないです。
やれやれ、
これ以上大きなページをやぶれば、４２６以下になりますので ｎを３０にします。ページ合計は465です。
465-（2ｍ+１）＝426
ｍ＝19と出ました。
よかった。
しかし、小学生に説明する方法としては、
これでは難しすぎます。灘受験ならこれでよいです。
しかしタイでも等差数列は必要ですね。全部足して４２６ページなんか、時間がかかります。まあ３０ページなら算数でもできそうですね。では合計１００００ではどうなりますか・
大人でもできません。
一から始まる等差級数の出し方を覚えてください。
n(n+1)÷２です。ｎは奇数でも偶数でも同じです。
さっき、自分で実際に確認しました。教え方も簡単ですよ。1から8くらいまでの数字を並べて教えれば、賢い子なら理解できます。
しかし、これって高校数学のような記憶ですけど。
２乗が ４２６の２倍の８５２より少し大きい数字を探すことですね。
あとは2乗が８５２より大きくなる数を探します。
ｎの2乗を探すほうが簡単です。まあ、n(n+1でも似たようなものです。2乗が８５２をさがすのは、大人でも
少し疲れます。タイは計算機持ち込みかのうなんですか？
私は設問者に、ｎを２８９くらいにして、こっちから試験してやりたい気分ですね。破るページは3枚で
、2枚目は一枚目の小さいページ番号の3倍、
タイの中学受験は難しすぎる。
これは、まあまあ、少し数学を解いた気分です。
しかしこれは算数ではなく数学ですね。
まあ合計４２６だから、算数かな。
taiayiさんから頂いた解答はここまで。
小学生相手に製本の知識まで必要とする設問は、難しすぎですよね。
アドバイスを頂いた、山口の空の下からさん、通りすがりの者さん、taiayiさんへ感謝！
もう１問は次の記事で取り上げるので、お楽しみ。
今回の記事にある等差数列は、必ずと言って良いほどタイの小学生対象のテストに出るので、簡単に説明する。
これを覚えれば、入試で５点や１０点は多く取れる。
1 5 9 13 17という４ずつ増える数列が有る。細かく書くと・・
一番目の数 1
+4
二番目の数 5
+4
三番目の数 9
+4
四番目の数 13
+4
五番目の数 17
と4ずつ増える（公差4）の数字の列だ。
この数列のｎ番目の数Anは
An=一番目の数１+公差４×（ｎ-1）=1+4ｎ-4=4ｎ-3で表される。
一番目の数 ｎ=1なので An=4ｎ-3=4-3=1
二番目の数 ｎ=2なので An=4ｎ-3=8-3=5
三番目の数 ｎ=3なので An=4ｎ-3=12-3=9
四番目の数 ｎ=4なので An=4ｎ-3=16-3=13
五番目の数 ｎ=5なので An=4ｎ-3=20-3=17
となり、間違っていないのが判る。
そして数列 1 5 9 13 17 の和 Sn=1+5+9+13+17 は
Sn=数列の数ｎ（ここでは5）×（数列の最初の数字１+数列の最後の数字17）÷2でも求められ、
Sn=５×（1+17）÷2=45となる。
これを応用すると次のような問題が解ける。
ブロックが465個あり、1段目は1個、2段めは2個、3段目は3個と並べると何段作れるか？
各段のブロックの数は 1 2 3 4 5 6・・・ と増えていく公差１の等差数列。
ｎ段目のブロックの数An=1+1×(ｎ-1)=ｎで表される。
この式より、最後の段をｎ段目とすると、その段のブロックの数もｎ個と判る。
1 2 3 4 5 6・・・n
1段目 1個
2段目 2個
3段目 3個
4段目 4個
5段目 5個
6段目 6個
・
・
・
ｎ段目 ｎ個
この数列の和Sn=1+2+3+4+5+6+・・・ｎ
=ブロックの段数ｎ×（最初の段のブロックの数1個+最後の段のブロックの数ｎ個）÷2=465
ｎ（ｎ+1）=930=30×31
ｎ=30
全部のブロックを並べると３０段作れ、最後の３０段目のブロックは３０個と判る。
問われているのは作った段数なので、答えは ３０段。
算数が大嫌いな私がやったので、間違えがあれば指摘してほしい。
タイの小学生向け算数ギフテッド問題の記事へのリンク→#中１入試ギフ
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バンコクの塾の先生の解答と私の解答が合わなくて困っていた奴だ。
こちらが問題。
日本語で問題を簡単に書くと、「総ページ数が１００ページに満たない本があり、中のページを１枚破り捨てた後に、その本のページ番号を全て足すと４２６になる。破り捨てたページ１枚の一番少ないページ番号を答えなさい。」
そしてこちらがフェースブックで探してきた某塾の先生の解答。
先ずは私の怪答ｗ
本のページ番号を足した合計は1+2+3+・・・+ｎで表される。
破って捨てたページ１枚には表と裏に２つのページがあり、
表のページをxとすると、裏のページはx+1となり、
捨てた１枚のページ数の和は2x+1と表される。
本のページ番号を足した合計1+2+3+・・・+ｎを求める式はｎ(n+1)÷2であり
本のページ数の合計 - 破り捨てた1枚の表裏のページ数の和 ＝ 426 なので
ｎ(n+1)÷2-(2x+1)=426 となる。
式を変形し
ｎ(n+1)=852+2(2x+1)
n(n+1)=854+4x
ここで本の最後のページｎを適当に決めてみるのだが、
ｎ(n+1)が854+4xだから30の二乗で900くらいかなって感じで、
n=30にしてみると・・
ｎ(n+1)=30×31=930=854+4x
4x=76
x=19
本の最後のページｎを増やすと、破り捨てたページｘが増えてしまい、
求めるのは一番少ないページ番号なので、ｎを更に増やして計算するのは不適当。
次にn=29としてみると・・
ｎ(n+1)=29×30=870=854+4x
4x=16
x=4
更に少ないページ番号が見つかった。
更に１ページ減らしてn=28だと
ｎ(n+1)=28×29=812=854+4x
4x=-42
xは自然数（正の整数）にならない。
本の最後のページｎを更に減すと、破り捨てたページｘも更に減り、
自然数にはならないので、ｎを更に減して計算するのは不適当。
これらの結果より、破り捨てた1枚の少ない方のページ番号ｘは４だと思ったのだが、
山口の空の下からさんより「 破った最小のページは奇数のはず」と御指摘頂き、
本棚のどの本を見ても確かにそう。
そういうことで、正解は塾の先生と同じく１９ページとしたいが、
製本の常識から外れても表紙の裏からページは振れるじゃないかと思う常識外れな私。ｗ
前提条件として特に指定もないので何か釈然としないひねくれ者ｗｗｗ。
次は通りすがりの者さんから、コメント欄へ頂いた解答。
(1+n)*n/2=A + {j + (j + 1)}
A=426
1.まずは目ッソで2A (426 x 2 = 856) の近場の開平法
30 x 30 =900
29 x 29 =841
28 * 28 =784
これで (1+n)xn/2 を計算すると、 30:465, 29:435, 28:406 (X: ＜426)
{j + (j + 1)を求めるため、465, 435から A(=426) を引く。
(A) 465 - A=39 (= 19page + 20page ),
(B) 435 - A= 9 (= 4page + 5page )
ここで解答は、
「山口の空の下から」さんのご指摘の通り、奇数ページから始まっているなら (A)が、
ブログ主殿が思われたように最初のページが表紙で page-0 からなら (B) となる。
その辺がどこまで設問で定義されているかは不明だが、さすがに小学生では、前述の条件をつけて２つの解を提示できないと思われるので、設問で条件が附されていなければ、どちらも正解としてやって欲しい。
通りすがりの者さんから頂いた解答はここまで。
そうですね。小学生ですからどちらも正解にしてやりたいところ。
続いてtaiayiさんから、コメント欄へ頂いた解答。
難問に挑戦しました。
等差級数を使いました。１からnの合計は
n(n+1)÷２ です。これからページ合計４２６の場合
は、ページをやぶるのですから、n(n+1)は
４２６ｘ２＝８５２より大きくなければなりません。
そうすると、ｎは２９になります。29ｘ30＝870です。
mページを破るとすると、引くかずは２ｍ+１です。
総ページｎが２９の時のページ合計は４３５です。
４３５－（２ｍ+1）＝４２６
を解きます。答えはｍ＝４です。
破ったページは４ページになりました。
しか改めて、手近の本を見れば、
確かに、紙に打たれているページの小さい番号は奇数ですね。表紙にはページ数は打たれていません。
タイの算数は，本の作り方まで生徒に要求するのですね。
答えは奇数に限るとのただし書きがあるかもしれません。まあタイ語ですから、ここまではメンカームさんにはタイ語は読めません。無理ないです。
やれやれ、
これ以上大きなページをやぶれば、４２６以下になりますので ｎを３０にします。ページ合計は465です。
465-（2ｍ+１）＝426
ｍ＝19と出ました。
よかった。
しかし、小学生に説明する方法としては、
これでは難しすぎます。灘受験ならこれでよいです。
しかしタイでも等差数列は必要ですね。全部足して４２６ページなんか、時間がかかります。まあ３０ページなら算数でもできそうですね。では合計１００００ではどうなりますか・
大人でもできません。
一から始まる等差級数の出し方を覚えてください。
n(n+1)÷２です。ｎは奇数でも偶数でも同じです。
さっき、自分で実際に確認しました。教え方も簡単ですよ。1から8くらいまでの数字を並べて教えれば、賢い子なら理解できます。
しかし、これって高校数学のような記憶ですけど。
２乗が ４２６の２倍の８５２より少し大きい数字を探すことですね。
あとは2乗が８５２より大きくなる数を探します。
ｎの2乗を探すほうが簡単です。まあ、n(n+1でも似たようなものです。2乗が８５２をさがすのは、大人でも
少し疲れます。タイは計算機持ち込みかのうなんですか？
私は設問者に、ｎを２８９くらいにして、こっちから試験してやりたい気分ですね。破るページは3枚で
、2枚目は一枚目の小さいページ番号の3倍、
タイの中学受験は難しすぎる。
これは、まあまあ、少し数学を解いた気分です。
しかしこれは算数ではなく数学ですね。
まあ合計４２６だから、算数かな。
taiayiさんから頂いた解答はここまで。
小学生相手に製本の知識まで必要とする設問は、難しすぎですよね。
アドバイスを頂いた、山口の空の下からさん、通りすがりの者さん、taiayiさんへ感謝！
もう１問は次の記事で取り上げるので、お楽しみ。
今回の記事にある等差数列は、必ずと言って良いほどタイの小学生対象のテストに出るので、簡単に説明する。
これを覚えれば、入試で５点や１０点は多く取れる。
1 5 9 13 17という４ずつ増える数列が有る。細かく書くと・・
一番目の数 1
+4
二番目の数 5
+4
三番目の数 9
+4
四番目の数 13
+4
五番目の数 17
と4ずつ増える（公差4）の数字の列だ。
この数列のｎ番目の数Anは
An=一番目の数１+公差４×（ｎ-1）=1+4ｎ-4=4ｎ-3で表される。
一番目の数 ｎ=1なので An=4ｎ-3=4-3=1
二番目の数 ｎ=2なので An=4ｎ-3=8-3=5
三番目の数 ｎ=3なので An=4ｎ-3=12-3=9
四番目の数 ｎ=4なので An=4ｎ-3=16-3=13
五番目の数 ｎ=5なので An=4ｎ-3=20-3=17
となり、間違っていないのが判る。
そして数列 1 5 9 13 17 の和 Sn=1+5+9+13+17 は
Sn=数列の数ｎ（ここでは5）×（数列の最初の数字１+数列の最後の数字17）÷2でも求められ、
Sn=５×（1+17）÷2=45となる。
これを応用すると次のような問題が解ける。
ブロックが465個あり、1段目は1個、2段めは2個、3段目は3個と並べると何段作れるか？
各段のブロックの数は 1 2 3 4 5 6・・・ と増えていく公差１の等差数列。
ｎ段目のブロックの数An=1+1×(ｎ-1)=ｎで表される。
この式より、最後の段をｎ段目とすると、その段のブロックの数もｎ個と判る。
1 2 3 4 5 6・・・n
1段目 1個
2段目 2個
3段目 3個
4段目 4個
5段目 5個
6段目 6個
・
・
・
ｎ段目 ｎ個
この数列の和Sn=1+2+3+4+5+6+・・・ｎ
=ブロックの段数ｎ×（最初の段のブロックの数1個+最後の段のブロックの数ｎ個）÷2=465
ｎ（ｎ+1）=930=30×31
ｎ=30
全部のブロックを並べると３０段作れ、最後の３０段目のブロックは３０個と判る。
問われているのは作った段数なので、答えは ３０段。
算数が大嫌いな私がやったので、間違えがあれば指摘してほしい。
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