オッズと数学の密な関係〜天才数学者はギャンブルをも数値化する

　ワールドカップの楽しみは､母国が勝ったり負けたりて大騒ぎする事もあるが､4年に1度のめでたいギャンブルとして眺めても楽しいもんだ。
　勿論､ピッチ外で起きた深刻な問題や様々な課題を除いて､という条件付きではあるが。

　基本的にギャンブルはしない私だが､大会前と大会が始まった後では大きくオッズ(掛け率)が変わるのを眺めてるだけでも色々と興味深い。
　というのも､オッズという数字(賭け率)には当たり外れはあるが､数学が弾き出す確率は嘘をつかないからだ(多分)。
　そこで今日はオッズと数学とギャンブルの密な関係についてです。

想定内の番狂わせ

　日本がドイツに勝った時､殆どのメディアは”番狂わせ”と報じた。
　事実､試合前のオッズは､ドイツの1.44倍に対し日本は7倍。ここで少し？ややこしいのはオッズの計算だ。
　1.44倍なら単純計算では､ドイツが負ける確率は1−(1/1.44)=30.5％となるが､日本が勝つ確率は1/7=14.28％となる。よく考えるとサッカーには引分けがあるから､両者はイコールにはならない。
　そこで私は少しこのオッズを弄って､1.44/(1.44+7)=17％として日本の勝率を再計算した。つまり､引分けを(大雑把にだが)加味しても17％前後の勝率が保証される。
　故に､この17％を番狂わせと呼べるのだろうか？
　因みに､村田がゴロフキンに勝つ確率は(オッズから見れば)30％弱程だったが､私には村田がゴロフキンに勝つ確率はよりゼロに近い30％に思えた。日本だからあれだけ健闘できたが､敵地ラスベガスだったら簡単に倒されてたかもしれない。
　つまり､日本開催という事で勝率(オッズ)が30％に跳ね上がったとも言える。事実､1対9というオッズも多く存在した。

　一方で､ドイツとの試合では地元カタールの大声援をバックにしてか､いや長友という老害を排除し､3バックという攻撃的システムに変えた事で､一気に(僅か17％の)勝率が上がったと言えなくもない。
　しかし､前半終了間際に2点目になる筈のゴールがオフサイドと判定され､試合の流れは日本に傾きつつあったとも言える。あのゴールが決まってれば､ドイツの勝率は83％(1-0.17)から100％近くにまで一気に跳ね上がってたであろう。
　つまり､確率というのは｢モンティのパラドクス｣でも書いた”事後確率”の積み重ねであり､非常に流動的で不安定なものでもある。

　それでもドイツは1点リードしてたから､余裕はあった筈だ。故に､83％の勝率は不動に思えた事だろう。しかし後半早々､日本が若さを活かしたスピーディーな攻撃を仕掛けた事で､ドイツの勝率がゆらぎ始めた。
　後半､日本が同点に追いついた時点での勝率は(村田がゴロフキンに勝つ確率の)30％を超えてたであろうか。ここまでくればイケイケである。スタジアム内の大声援もあってか､私には五分五分の丁半賭博に思えた。つまり､どっちが勝ってもおかしくはない。
　そんな中で､2点目をドイツではなく日本が決めただけの事である。
　こうして”事後確率”の視点で見ると､日本の勝利が単に番狂わせで説明できない事が理解できる。事後確率という浮気症の女神は､日本とドイツの間をずっと揺れ動き続けてたのである。

想定内の敗北

　これと全く同じ事がコスタリカ戦でも起きた。日本がまさかの敗戦を喫した時､多くのメディアは日本を責めた。
　勿論､ドイツ戦での勝利で浮かれて所はあった。
　オッズで見れば､日本の1.8倍に対し､コスタリカの8倍。私流の計算では､日本がドイツに勝つ確率の17％よりも､コスタリカが日本に勝つ確率が18.3％(=1.8/(1.8+8)と僅かに高い。つまり､岡田さんの”想定内”発言は当然とも言える。
　一方で､ドイツ戦の勝利で浮かれた日本とスペイン戦での大敗で後がなかったコスタリカでは(条件付き確率で言えば)五分五分と言えなくもなかった。因みに世界ランクでは24位と31位の差はあるものの､殆ど誤差と言ってもいい。
　それでも､前半からスピードを活かして積極的に攻め込んでれば､81.7％(1−0.183)の事前の勝率通りに､コスタリカの防御壁を突破できたであろうか。
　しかし現実は､(長友を先発させた)前半のモタモタ感がコスタリカの僅か18.3％の勝率を跳ね上げたとも言える。
　浮かれながらも”勝ちたい勝ちたい”の日本と､1点でも与えたら”全てが終る”コスタリカでは条件付き確率は大きく変わってくる。
　つまり､コスタリカは守りを徹底したが故に､負ける確率は大幅に減り､逆に日本の焦りを生み､日本の勝率は大きく落ち込んだ。勿論､細かな采配ミスや不運もあったが､全ては微々たるレベルの結果論である。

　こうして確率論的に見れば､勝負と賭け事はオッズを基準として数学通りに運ぶ(多分)。
　コスタリカが勝っても当然な出来事でもあり､メディアが日本をパッシングする程のものでもない。つまり､確率と数学は嘘をつかないのだ(多分)。

　大会前の日本のグループ突破の確率は34％とされていた。ドイツに勝利した後は75％までに上昇し､コスタリカに破れ､29%に下落。更にスペインがドイツに引分けた事で20％まで下がった。
　もしスペインが(引き分け狙いでなく)本気でやれば確率は0%近くにまで下がる。
　34%→75%→29%→20%→0と乱高下する確率だが､日本がスペインに勝つ確率は20％とゼロの間を彷徨い続けていると考えていい。
　コスタリカに破れた事は森保監督にとっては想定外だった筈だが､スペインが日本に敗れるというのは､どんなメディアも”番狂わせ以外にはない”と断言するだろう。

　因みに､bet364社によるオッズ(11/24)は､スペインの1.40に対し日本の9倍(引き分けは4.33)で､私的計算だと日本の勝率は13.4％となる。また､グループ突破オッズも日本は4.33(23％)､スペインの1.01でドイツは1.25､コスタリカは13.00。
　一方､WINNERのオッズ(12/22時点)では､日本の勝利予想は28％で､日本の0－2敗戦が1番人気で4.8倍となっている。

　しかしもの(と数学と確率)は見ようだが､勝率が13％を超えるのなら､番狂わせがなくとも最低限の期待はデキそうだ。少なくとも絶望という領域でもない。
　日本に賭けてガッポリと稼ごうぜっていうギャンブル狂もいるだろう。
　そうした輩も味方につけて戦いたいもんだ。　

今更聞けない､オッズとは？

　冒頭ではオッズを”掛け率”と書いたが､(当たった場合の配当を賭け金に対する倍率で表したもので)正確には”配当率”(払い戻し倍率)の事である。
　このオッズに対し､エッジ(期待値)という言葉があるが､ギャンブルに関してはこっちの方がより重要とされる。
　まず初めに､オッズの基本の基から紹介です。

　ある事象の起こる確率pと起こらない確率1−pとの比で､p/(1−p)の事をOddsという。
　因みに､Oddsと確率pとの間には､p=Odds/1+Oddsとの関係式が成り立つ。
　例えば､5回に1回の確率で起きる(勝つ)事象をオッズで数学的に表記すると､0.2/(1−0.2)=0.25となる。また､その時の確率(勝率)pは0.25/(1+0.25)=0.2となりますね。この時､Odds≠勝率pに注意です。
　因みに､日本の公営ギャンブルでは､1を賭けて(元手を含め)5倍になって戻る事から､オッズの事を”掛け率”(払い戻し倍率)5倍と表現する。つまり､オッズを5倍とする事で､勝率を1/5=0.2と簡単に計算できる事から採用されている(多分)。
　欧米でもオッズの表記法には､4:1や4/1(失敗数と成功数)､5.0や5-1(元手を加えた掛け率表示)などがある(ウィキより)。
　つまり､数学で厳密に言えばオッズと勝率は異なるが､ギャンブルで見ればオッズは勝率と言えますね。

　次に､エッジ(期待値)ですが､｢数学はギャンブルを超えた(その2)｣でも紹介した”ケリー基準”では”優位性”という意味もある。
　実はオッズよりもエッジの方が重要で､予測(計算)するのもずっと難しい。
　つまり､勝ってるからとて(主観に囚われ)我を見失うと正確なエッジ(優位性)を予測する事が難しくなり､破綻する。コスタリカ戦での日本や日本戦でのドイツと同じである。オッズという単純な確率だけで勝負するとバカを見るの典型でしたね。

　”ケリー基準”とは(簡単に言えば)､ギャンブル(投資)におけるリターンとリスクの比率を数学的に計算し､最適な掛け金で資金を最大に増やす方法の事です。
　ケリーの”掛け金方程式”では､”最適投資率=エッジ/オッズ”という単純な式で与えられます。が､実際(1956年に)ジョン･ケリーが考案した公式は､”{(勝率)×(オッズ+1)–1}/(オッズ)”という複雑なものでした。後に､誰でも使える様にエッジという概念を導入し､簡略化されます。

　エッジ(期待値)とは､実際にはブックメーカーが弾き出すオッズ(配当率)よりも”有利”に保持する(と思う)アドバンテージです。
　このエッジは､(結果に応じた収益と確率を掛けた)期待値として弾き出すが､正確に把握する事は困難とされる。

　例えば､勝率が50%の公平なオッズの結果が2の場合､エッジはリターンからリスクを引いた”2×50％−1×50％=0.5”と簡単に計算出来る。
　故に､最適投資額=エッジ/オッズ=0.5/2=0.25となり､最初は持ち金の1/4を注ぎ込めとなる。
　つまり､勝率5割の超単純な丁半賭博でも用心深くベッドする必要がある。五分五分だからとて､直感的には(一か八かで)全部突っ込みそうになるが､高い確率で破綻する。　
　因みに､勝率を55%に上げると期待値は65%に上り､投資率は32.5%になる。つまり､勝率が5%増えれば期待値は10%に､投資率は7.5%上がる計算になる。

最後に〜ケリーのギャンブル方程式

　勿論､ブックメーカーによってもオッズは異なるし､人やゲームによっても勝率やエッジの見方は異なる。
　故に､”リターンが最大になる様に(注意深く)リスクをとる”のがケリー基準の肝なのである。
　ギャンブルで破綻する人の殆どは”賭け過ぎ”が大きな原因であるとされるが､ワールドカップでも大失態を演じるチームはこれに当てはまるとも言える。
　逆を言えば､番狂わせを演じる為には､”慎重に賢くリスクを取る”のが必要だと言える。逆に､(当然だが)大胆に無謀にリスクを取ればリターンはゼロになる。
　日本はスペイン戦ではどんなリスクを取るのだろうか？そのリスクのとり方次第では､オッズ(掛け率)は低くともエッジ(期待値)は高くなり､その期待は優位に変わり､僅かな確率でも勝利に一歩近づく。

　計算上はそうなるのだが､数字と現実はそう単純ではない。しかしオッズという賭け率に囚われる事なく､エッジという期待に胸を膨らませる事なく､リターンとリスクを冷静に分析･考察したケリーは､ギャンブルを単なる確率としてではなくアルゴリズムとして定義した。
　最後に､上で説明した”ケリーの公式”では､(n回目の)資産の期待成長率の幾何平均の対数をとり､大数の法則を使い､成長率の2次導関数導き､掛け金の最適比率を弾き出すんですが。ケリーの”ベルヌーイ試行”のややこしい計算の結果が､シンプルな公式に帰着するのも奇跡に近い。
　そう､数学は常に冷静で慎重で､かつ美しく素晴らしいのだ。