KYOKUKENZO'S WORKSHOP 2020

「道」は自ら切り開くもの。
他人の後追いは「道」にあらず。

ペアノ公理。

2020年05月19日 | 歳時記
こないだから
何度か言ってますが
私は理系男子です。


いまから50年ほど前。
・・・とある高校の
とある部活の部室にて
M先輩は私に迫りました。

1+1=2。
1たす1は
どうして2になるのか。
キョッくん証明できる?


私は立ち上がり
即座に答えました。

そのむかし
ユークリッドが
1たす1は2と決めたから。


それを聞いて
先輩がなんと言ったのか。

その後の展開は
よく憶えていません。

あれから50年
ふとそんなことを思い出し

どうして
1たす1は2になるのか
改めて考えてみました。

でも
考えてはみたものの
分からないものは
分からない。

ということで、

てっとり早く
Yahoo!で調べて
みることにしました。
(以下、ネットより要約。)

自然数の定義(ペアノ公理)。
①自然数0が存在する。
②任意の自然数aには
 後者suc(a)が存在する。
③0はいかなる自然数の
 後者にもならない。
④ 異なる自然数は
 異なる後者を持つ。
 a≠bのときsuc(a)≠suc(b)。
⑤aがある性質を満たし
 後者 suc(a)も
 その性質を満たすとき
 すべての自然数は
 その性質を満たす。
0の次の数を1と名づける。
1の次の数を2と名づける 。


足し算の定義。
①すべての自然数aに対し
 a+0=a。
②すべての自然数a,bに対して
 a+suc(b)=suc(a+b) 。


1+1=2の証明。
①0の次は1。
②1の次は2。
③a+0=a。
④a+(bの次)=(a+b)の次。
⑤1+1=1+(0の次)=(1+0)の次。
⑥1+(0の次)=(1+0)の次=(1)の次=2。

よって1+1=2となる。
・・・証明おわり。


ふうむ。ナルホド。

「ペアノ公理」で
1の次は2と定義されている

それを「足し算の定義」に
当てはめると1たす1は2
であることを証明できる。

50年前の私の解答。
割といい線いってたかも。kyokukenzo

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