流体力学の講義9回目，概要は以下のとおり．
偉人 ポアズイユ
層流 2 pp.129 - 144
円管内粘性流れの特徴
円管内の層流速度分布
管内流れの流量，速度
摩擦損失
層流の管摩擦係数
並行壁の間の層流
球の層流抵抗 （ストークスの法則）
プールの中での水泳の抵抗
偉人 ポアズイユ
ジャン・ポアズイユ
（Jean Louis Marie Poiseuille、1797年4月22日 - 1869年12月26日）
フランスの物理学者，生理学者．
フランス，パリで生まれ．エコール・ポリテクニークで物理学と数学を学ぶ．
理学博士の博士論文(1828年)のタイトルは，フランス語で
Recherches sur la force du coeur aortique
「心臓大動脈の強さに関する研究」
あるいは，
「心臓大動脈に加わる力に関する研究」
毛細管中の血液の流れなどに興味を持っていた．1842年にパリ医学アカデミー会員となる．
流体力学における業績：
流体力学の分野で層流流れに関するポアズイユの法則をたてたことで知られる．粘度のCGS単位系の粘度の単位ポアズはポアズイユの名．
円筒管内部を流れる,非圧縮性の粘性流体の層流流れについて
1838年に実験し,1840年頃にポアズイユの定理を数式化した.
（ゴットヒルフ・ハーゲンGotthilf Heinrich Ludwig Hagen（1797-1884）も独立して研究したのでハーゲン＝ポアズイユの式とも呼ばれる.）
その他の業績：
水銀によるマノメータ式の圧力計を改良して，血圧を計測した．現在もちいられている，血圧計の原型になるものを作成した．
http://en.wikipedia.org/wiki/Poiseuille
http://encyclopedia.farlex.com/Poiseuille,+Jean-Louis(-Marie)
http://www.todayinsci.com/4/4_22.htm
[層流 2]
教科書のpp.129 - 144部分について，教科書にそって，説明した．
円管内粘性流れの特徴
断面積が一定の円管内の定常流れを考える．
粘性流体 連続の式 => 速度一定
流体には，管壁面から粘性応力が作用する．
# 板上の物体の摩擦と同様
この粘性応力につりあって，流体を等速運動させる力は？
圧力勾配による．
管内の粘性流れは，下流側の方が圧力が下がる．
# 直感的には，長いホースやパイプは，管が長いほど
# 圧力が下がるのはイメージしやすいと思う．
円管内の層流速度分布
円管内の層流の速度分布は，以下の式で与えられる．
u = - α / 4 μ ( r2 - a2 )
u 流速
α = ə u / ə y 圧力勾配
μ 粘性係数
r 中心からの管の半径方向の距離
a 管の半径
放物線の速度分布となる流れをポアズイユ流れ( Poiseuille flow)という．
管内流れの流量，速度
管を通る流量はQは，断面積A と流速の u の積であった．
管内層流の流量 Q は，以下のように求められる．
Q ＝ lim Σ ui Δ A i = ∫ udA
ΔA->0 i
ΔA 微小断面積
u 微小断面積での速度
流量Qの計算のイメージ 式 4.13 の意味
中心から，円柱方向にそれぞれの速度部分の速度と面積を合算する．
流量はQは，
Q ＝ (πa4 / 8μ) α
π 円周率
a 半径
μ 粘性係数
α = ə u / ə y 圧力勾配
この関係式を，ポアズイユの法則(Poiseuille low) という．
平均流速 U は，
U ＝ Q/A = (a2 / 8μ) α
π 円周率
a 半径
μ 粘性係数
α = ə u / ə y 圧力勾配
最大流速 Umax は，
Umax ＝ (a2 / 4μ) α = 2U0
π 円周率
a 半径
μ 粘性係数
α = ə u / ə y 圧力勾配
U0 平均流速
粘性流れにおいて，粘性によるエネルギーの損失を摩擦損失 (friction loss)という．
これは，
物体の移動における摩擦力
あるいは，
電気回路による抵抗
と同様のイメージである．
管内の粘性流れにおいて，流れの下流側ほど，摩擦損失でエネルギーが失われる．この場合の，管のある断面におけるベルヌーイの式は，
1/2 ρv2 + P + ρgz = E(s)
となる．これを拡張されたベルヌーイの式という．E(s) は定数ではなく，下流にいくほど減少する．
管内の粘性流れにおいて，長さ ℓ 下流で，ΔEのエネルギーが失われた場合．
ΔE ∝ (ℓ/d)(1/2)ρU2
すなわち損失は，
長さℓに比例する
運動エネルギーに比例する
管径dに反比例する
管内の粘性流れにおいて，長さ ℓ 下流で，ΔEのエネルギーが失われた場合，比例定数 λ を導入する
ΔE = λ (ℓ/d)(1/2)ρU2
この式を，ダルシー・ワイズバッハの式(Darcy-Weisbach equation) という．
比例定数 λ は，管摩擦係数(friction factor)という．
層流の管摩擦係数は，
λ = 64μ / ρpdU = 64 /Re
並行壁の間の層流
hだけ離れて並行におかれた壁の間の定常流れ
上側の壁が速度 U で移動していて，圧力勾配がαである場合
μ d2u / dy2 = α
境界条件 u = 0 (y = 0), u=U (y=h)
速度分布は，
u(y) = (α / 2μ) ( h - y ) y + ( U / h ) y
hだけ離れて並行におかれた壁の間の定常流れ
上側の壁が速度 U で移動していて，圧力勾配がない場合 α = 0
上 側の壁の流体は上側の壁にひきずられる．
速度分布は直線になる．
これを，クェット流れ (Couette flow) という．
速度分布は
u(y) = ( U / h ) y
応力分布は，一定となる．
τ = μ(U/h)
hだけ離れて並行におかれた壁の間の定常流れ
上側の壁が(下側の壁も)静止している場合
円管内の流れと同様に，ポアズイユ流れ( Poiseuille flow)となる．
速度分布は放物線となる．
u(y) = (α/ 2μ) ( h - y ) y
応力分布は直線となる，
τ = α(1/2) h -y)
hだけ離れて並行におかれた壁の間の定常流れ
圧力勾配があり α ≠ 0 上側の壁が移動ししている場合 U ≠ 0
クェット流れ (Couette flow)とポアズイユ流れ( Poiseuille flow)が合わさった流れとなる．
球の層流抵抗 ストークスの法則
粉末やミスト(霧雨のような小さな水滴)などの微粒子が流体中に沈殿するような場合，微粒子まわりの流れはレイノルズ数が非常に小さくなる．
レイノルズ数が「1」より小さな流れ場では，慣性力に比べて粘性力の影響が大きくなる．このような低レイノルズ数流れでは，流れの場を「近似的に」求め
ることができる．
その一つの方法が，ストークス近似(Stoke's approximation)である．
ストークス近似による粘性流れ中の球の抵抗 D
D = 6 π a μ U
球の半径 a
流れの速度 U
粘性係数 μ
抵抗係数は，
Cd = 24 / Re
低レイノルズ流れの球の抵抗 D
D = 6 π a μ U
抵抗係数Cd は
Cd = 24 / Re
これを，ストークスの抵抗の法則という．
低レイノルズ数流れでは，抵抗の近似計算に密度が含まれない．
=>慣性力は無視できる.
=>結果的に，抵抗は速度に比例する．
ストークス近似から求められた抵抗を利用して，微粒子が流体中を沈降する際の終端速度，すなわち沈降速度 U∞ を求めることができる．
U∞ ＝ 2/9 (ρ' - ρ) /μ a2g
微粒子の半径 a
微粒子密度ρ'
流体の密度ρ
プールの中での水泳の抵抗
普通のプールの水ももちろん粘性流体である．プールの中は基本的には，外力による流れはないが，プールをの中で水泳している者は自分が進むことによって，粘性流れの中の物体と同じ状態になる．
人間の水泳では，体表面の摩擦抵抗は非常に大きなファクタとなっている.
人間の体の表面の状態は，簡単には変更できないが，水着は色々工夫できる．
レーザー・レーサー（LZR RACER）
英スピード社が米航空宇宙局（ＮＡＳＡ）などの協力を得て開発した水着. 抵抗の少ない新しい素材と，超音波で溶着した「縫い目がない」加工で等，水の抵抗を大幅に削減した．デザインは，コムデギャルソンとのコラボレーション．
数値で見るLZR RACERの性能
2004年に発表した「FASTSKIN FSⅡ」に比べ、受動抵抗(*2)を約10％軽減。
2007年3月に発表された「FASTSKIN FS-PRO」に比べ、受動抵抗(*2)が約5％軽減。
LZR Panels によって、「FASTSKIN FS-Ⅱ」に比べ表面摩擦抵抗(*3) を24％も軽減。
無縫製設計よって、従来のステッチ型水着に比べ表面摩擦抵抗が6％低下。
http://www.goldwin.co.jp/pr/080222_speedo/index.html
詳しい技術情報は以下を参照
http://www.speedo.jp/lzr_racer_about.html
2008/6/8
『競泳のジャパンオープンは最終日の８日、東京辰巳国際水泳場で行われ、男子二百メートル平泳ぎ決勝で北島康介（２５）が２分７秒５１の世界新記録を樹立した。従来の記録は、ブレンダン・ハンセン（米国）が０６年８月にマークした２分８秒５０で、０秒９９更新した。』
北島は，スピード社のレーザー・レーサーを着用．これまでの自己最高記録は，４月の日本選手権で出した日本記録の２分８秒８４で，これを１秒３３と大幅に短縮した．
過去の自己ベストは，200m/128.84s = 1.552m/s
今回の記録は，200m/127.51.s = 1.568m/s
自己ベストを100とすると，101 すなわち，トータルで約1%の速度アップ．
偉人 ポアズイユ
層流 2 pp.129 - 144
円管内粘性流れの特徴
円管内の層流速度分布
管内流れの流量，速度
摩擦損失
層流の管摩擦係数
並行壁の間の層流
球の層流抵抗 （ストークスの法則）
プールの中での水泳の抵抗
偉人 ポアズイユ
ジャン・ポアズイユ
（Jean Louis Marie Poiseuille、1797年4月22日 - 1869年12月26日）
フランスの物理学者，生理学者．
フランス，パリで生まれ．エコール・ポリテクニークで物理学と数学を学ぶ．
理学博士の博士論文(1828年)のタイトルは，フランス語で
Recherches sur la force du coeur aortique
「心臓大動脈の強さに関する研究」
あるいは，
「心臓大動脈に加わる力に関する研究」
毛細管中の血液の流れなどに興味を持っていた．1842年にパリ医学アカデミー会員となる．
流体力学における業績：
流体力学の分野で層流流れに関するポアズイユの法則をたてたことで知られる．粘度のCGS単位系の粘度の単位ポアズはポアズイユの名．
円筒管内部を流れる,非圧縮性の粘性流体の層流流れについて
1838年に実験し,1840年頃にポアズイユの定理を数式化した.
（ゴットヒルフ・ハーゲンGotthilf Heinrich Ludwig Hagen（1797-1884）も独立して研究したのでハーゲン＝ポアズイユの式とも呼ばれる.）
その他の業績：
水銀によるマノメータ式の圧力計を改良して，血圧を計測した．現在もちいられている，血圧計の原型になるものを作成した．
http://en.wikipedia.org/wiki/Poiseuille
http://encyclopedia.farlex.com/Poiseuille,+Jean-Louis(-Marie)
http://www.todayinsci.com/4/4_22.htm
[層流 2]
教科書のpp.129 - 144部分について，教科書にそって，説明した．
円管内粘性流れの特徴
断面積が一定の円管内の定常流れを考える．
粘性流体 連続の式 => 速度一定
流体には，管壁面から粘性応力が作用する．
# 板上の物体の摩擦と同様
この粘性応力につりあって，流体を等速運動させる力は？
圧力勾配による．
管内の粘性流れは，下流側の方が圧力が下がる．
# 直感的には，長いホースやパイプは，管が長いほど
# 圧力が下がるのはイメージしやすいと思う．
円管内の層流速度分布
円管内の層流の速度分布は，以下の式で与えられる．
u = - α / 4 μ ( r2 - a2 )
u 流速
α = ə u / ə y 圧力勾配
μ 粘性係数
r 中心からの管の半径方向の距離
a 管の半径
放物線の速度分布となる流れをポアズイユ流れ( Poiseuille flow)という．
管内流れの流量，速度
管を通る流量はQは，断面積A と流速の u の積であった．
管内層流の流量 Q は，以下のように求められる．
Q ＝ lim Σ ui Δ A i = ∫ udA
ΔA->0 i
ΔA 微小断面積
u 微小断面積での速度
流量Qの計算のイメージ 式 4.13 の意味
中心から，円柱方向にそれぞれの速度部分の速度と面積を合算する．
流量はQは，
Q ＝ (πa4 / 8μ) α
π 円周率
a 半径
μ 粘性係数
α = ə u / ə y 圧力勾配
この関係式を，ポアズイユの法則(Poiseuille low) という．
平均流速 U は，
U ＝ Q/A = (a2 / 8μ) α
π 円周率
a 半径
μ 粘性係数
α = ə u / ə y 圧力勾配
最大流速 Umax は，
Umax ＝ (a2 / 4μ) α = 2U0
π 円周率
a 半径
μ 粘性係数
α = ə u / ə y 圧力勾配
U0 平均流速
粘性流れにおいて，粘性によるエネルギーの損失を摩擦損失 (friction loss)という．
これは，
物体の移動における摩擦力
あるいは，
電気回路による抵抗
と同様のイメージである．
管内の粘性流れにおいて，流れの下流側ほど，摩擦損失でエネルギーが失われる．この場合の，管のある断面におけるベルヌーイの式は，
1/2 ρv2 + P + ρgz = E(s)
となる．これを拡張されたベルヌーイの式という．E(s) は定数ではなく，下流にいくほど減少する．
管内の粘性流れにおいて，長さ ℓ 下流で，ΔEのエネルギーが失われた場合．
ΔE ∝ (ℓ/d)(1/2)ρU2
すなわち損失は，
長さℓに比例する
運動エネルギーに比例する
管径dに反比例する
管内の粘性流れにおいて，長さ ℓ 下流で，ΔEのエネルギーが失われた場合，比例定数 λ を導入する
ΔE = λ (ℓ/d)(1/2)ρU2
この式を，ダルシー・ワイズバッハの式(Darcy-Weisbach equation) という．
比例定数 λ は，管摩擦係数(friction factor)という．
層流の管摩擦係数は，
λ = 64μ / ρpdU = 64 /Re
並行壁の間の層流
hだけ離れて並行におかれた壁の間の定常流れ
上側の壁が速度 U で移動していて，圧力勾配がαである場合
μ d2u / dy2 = α
境界条件 u = 0 (y = 0), u=U (y=h)
速度分布は，
u(y) = (α / 2μ) ( h - y ) y + ( U / h ) y
hだけ離れて並行におかれた壁の間の定常流れ
上側の壁が速度 U で移動していて，圧力勾配がない場合 α = 0
上 側の壁の流体は上側の壁にひきずられる．
速度分布は直線になる．
これを，クェット流れ (Couette flow) という．
速度分布は
u(y) = ( U / h ) y
応力分布は，一定となる．
τ = μ(U/h)
hだけ離れて並行におかれた壁の間の定常流れ
上側の壁が(下側の壁も)静止している場合
円管内の流れと同様に，ポアズイユ流れ( Poiseuille flow)となる．
速度分布は放物線となる．
u(y) = (α/ 2μ) ( h - y ) y
応力分布は直線となる，
τ = α(1/2) h -y)
hだけ離れて並行におかれた壁の間の定常流れ
圧力勾配があり α ≠ 0 上側の壁が移動ししている場合 U ≠ 0
クェット流れ (Couette flow)とポアズイユ流れ( Poiseuille flow)が合わさった流れとなる．
球の層流抵抗 ストークスの法則
粉末やミスト(霧雨のような小さな水滴)などの微粒子が流体中に沈殿するような場合，微粒子まわりの流れはレイノルズ数が非常に小さくなる．
レイノルズ数が「1」より小さな流れ場では，慣性力に比べて粘性力の影響が大きくなる．このような低レイノルズ数流れでは，流れの場を「近似的に」求め
ることができる．
その一つの方法が，ストークス近似(Stoke's approximation)である．
ストークス近似による粘性流れ中の球の抵抗 D
D = 6 π a μ U
球の半径 a
流れの速度 U
粘性係数 μ
抵抗係数は，
Cd = 24 / Re
低レイノルズ流れの球の抵抗 D
D = 6 π a μ U
抵抗係数Cd は
Cd = 24 / Re
これを，ストークスの抵抗の法則という．
低レイノルズ数流れでは，抵抗の近似計算に密度が含まれない．
=>慣性力は無視できる.
=>結果的に，抵抗は速度に比例する．
ストークス近似から求められた抵抗を利用して，微粒子が流体中を沈降する際の終端速度，すなわち沈降速度 U∞ を求めることができる．
U∞ ＝ 2/9 (ρ' - ρ) /μ a2g
微粒子の半径 a
微粒子密度ρ'
流体の密度ρ
プールの中での水泳の抵抗
普通のプールの水ももちろん粘性流体である．プールの中は基本的には，外力による流れはないが，プールをの中で水泳している者は自分が進むことによって，粘性流れの中の物体と同じ状態になる．
人間の水泳では，体表面の摩擦抵抗は非常に大きなファクタとなっている.
人間の体の表面の状態は，簡単には変更できないが，水着は色々工夫できる．
レーザー・レーサー（LZR RACER）
英スピード社が米航空宇宙局（ＮＡＳＡ）などの協力を得て開発した水着. 抵抗の少ない新しい素材と，超音波で溶着した「縫い目がない」加工で等，水の抵抗を大幅に削減した．デザインは，コムデギャルソンとのコラボレーション．
数値で見るLZR RACERの性能
2004年に発表した「FASTSKIN FSⅡ」に比べ、受動抵抗(*2)を約10％軽減。
2007年3月に発表された「FASTSKIN FS-PRO」に比べ、受動抵抗(*2)が約5％軽減。
LZR Panels によって、「FASTSKIN FS-Ⅱ」に比べ表面摩擦抵抗(*3) を24％も軽減。
無縫製設計よって、従来のステッチ型水着に比べ表面摩擦抵抗が6％低下。
http://www.goldwin.co.jp/pr/080222_speedo/index.html
詳しい技術情報は以下を参照
http://www.speedo.jp/lzr_racer_about.html
2008/6/8
『競泳のジャパンオープンは最終日の８日、東京辰巳国際水泳場で行われ、男子二百メートル平泳ぎ決勝で北島康介（２５）が２分７秒５１の世界新記録を樹立した。従来の記録は、ブレンダン・ハンセン（米国）が０６年８月にマークした２分８秒５０で、０秒９９更新した。』
北島は，スピード社のレーザー・レーサーを着用．これまでの自己最高記録は，４月の日本選手権で出した日本記録の２分８秒８４で，これを１秒３３と大幅に短縮した．
過去の自己ベストは，200m/128.84s = 1.552m/s
今回の記録は，200m/127.51.s = 1.568m/s
自己ベストを100とすると，101 すなわち，トータルで約1%の速度アップ．
