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北海道大学 理系数学 数列問題②(2010年度[3])

2010-03-10 | 北海道大学理系数学研究
2010年度北海道大学理系数学の問題に関して、実際解いてみましたが、
難易度的には例年並み、もしくは易化しているように思われます。

今年度の特徴的なことと言えば…

●ここ数年続いていた空間図形がなくなっている。
●確率の問題[5]の今回の余事象と数列の規則性との問題は、あまり考える必要がない
●積分の問題[1]も易

など、数学的思考力を問うものは少なかったと思います。


その反面、

●数学的論述力をしっかりと問う問題が増えている。
●積分計算に関しては奇をてらっているわけではないが、絶対値のついた積分や極値問題
 などは、しっかりとした計算力を問うている。

など、基本的な数学的処理能力に比重を置いている感があります。


上記特徴を踏まえた上で、あえて今回は2010[3]を取り上げました。


実際、今年度の問題の中では、
この[3]は難しい部類に入ると思いますが、
ただ、これは入試の解法テクニックとしては有名事実な三角関数の公式ですし、
その計算過程の理解を直接問うものになっています。

このような受験に特化したタイプの問題は、
どちらかというと珍しいというのが、私の北大理系数学に対する見方でしたが、
ただこれは次年度以降の入試制度変更を見越して、
生徒の選別問題用に受験テクニックを要するものを考えているのかもしれませんね。


とはいえ、
北大の理系数学の問題は、今後も
『数学的土台に裏付けられた事務処理能力を問う』タイプであることには
間違いはなさそうです。



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北海道大学 理系数学 行列問題①(2008年度[2])

2010-01-28 | 北海道大学理系数学研究
今回は2008年度[2]を取り上げました。

PDFファイルの方にも書いていますが,
行列は2000年以降頻度が少し高まっていて,
2次試験対策では確認しておきたい単元のうちの1つです。

今回取り上げた問題の(1)は、
基本的なA^nの証明として, 数学的帰納法が使えるかどうかの確認問題。

数学的帰納法の学習の導入として使える、
いたってシンプルな問題なので、
学校でも例題、確認問題として使いたいところです。


ただ、(2)に関しては
なんとか『n:自然数』の条件化にある証明問題に関して、
その処理が一般的に数学的帰納法に依拠することが多いことを考えると、
それでゴリ押しすることはできなくはありません。

ただこの問題は、
整数問題の解法テクニックの1つである、
二項定理が利用できます。
(注)PDF文書はその手法で解いています。
  実際、この問題で数学的帰納法による証明を用いるのは…
  どうもこじづけのような気がしてならないので(笑)


この問題だけではありませんが、
北海道大学の理系数学の問題は、
難易度よりも
本質的な数学的の理解を確認しているだけでなく、
その1題1題にいろいろな数学的世界の広がりが持てるものが多いです。

その意味で、
北海道大学の理系数学の問題は
学校教育に携わる教師の立場で言えば、
本質的な数学の知識・理解力の問い方などの1つの研究材料として
いい教材だと思っています。

その意味で
数学教育の授業内容の展開や教材作りなどを再構成をしていく上でも、
北海道大学の理系数学の入試問題を研究していく必要があるのではないかと思っています。

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北海道大学 理系数学 複素数問題①(2004年度[1])

2010-01-24 | 北海道大学理系数学研究
今回は2004年度[1]を取り上げた。


テーマは複素数であり、北海道大学ではあまり出題される単元ではないが、
今回は前回の数列(漸化式)との絡みで取り上げた。


この問題は
漸化式の係数が複素数で、複素数の四則演算などの基本的な内容を確認する、
という変わったものだが、
ただその関連であえて次のような指摘をしておきたい。

 高次方程式におけるn次方程式の解と個数に関して、
  ●虚数解p+qiを解にもつ⇒共役複素数p-qiも解
 ということは実数係数のn次方程式でしか成り立たない


つまり、私が言いたいのは、

受験生は、公式や定理を問題解決に活用することばかりに目が行きがちだが、
その限界もしっかりと把握・整理しておくこと!!

ということであり、
この問題をその注意喚起のための設問として捉えておいてほしい。


そのことを伝えるという意味で、解答も気を遣っている。

実際、
漸化式から具体的な数列の式を導出する場合、
特性方程式を解くパターンが一般的であり、
この年度も(2)で出題されている。

ただ隣接3項間の漸化式の特性方程式は2次方程式であることを考えれば、
いつもこの解法で解くことに慣れていると、上述の指摘箇所で深みにはまることも…。

そのため(2)の解き方も単純に特性方程式を作るということは避けている。


また、この2004年度[1](4)は、
ド・モアブルの定理を考えればすぐに解けるが、
現学習指導要領では扱わないので、
その点をどう克服して解くかは受験生の力が問われるところ。

自分の数学の勉強の姿勢を考え直す1つの契機として、
この問題を捉えてもらいたい。
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北海道大学 理系数学 数列問題①(1997年度[3])

2010-01-24 | 北海道大学理系数学研究
今回は、1997年度[3]の数列の問題を取り上げました。

漸化式の問題ですが,
特に目新しいというわけではなく,
基本的解法パターンそのものを問うているものです。


実際,北海道大学の問題は,
決して奇をてらうことなく,
各単元における数学的概念の本質を
確実にものにしているのかを確認する,
そんな問題が多いのが特徴として挙げられます。


ですから北海道大学の数学入試問題は,
基礎・基本の積み上げとその理解の定着度が
そのまま結果に反映されやすい問題とも言えるので,
受験生は
これまでの自分の努力を信じて,
しっかりと2次試験に臨んでほしい,
そう願ってやみません。
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北海道大学 理系数学 整数問題①(1997年度[1])

2010-01-21 | 北海道大学理系数学研究
北海道大学理系数学の研究を少しずつブログの方へ…。


今回は、整数問題。

1997年度[1]を取り上げました。

本来、北海道大学で整数問題を扱うこと自体珍しいのですが、

今回の問題は、ガウス記号[x]の本質を問う良問だと思うので、

その意味でもガウス記号を学んだ際にはやらせたい問題の1つだと思います。


問題・解答とともに、

ガウス記号が出てきたときの典型的な処理の仕方も書いておいたので、

良かったら参考にしてください。

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