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単振子の運動 (2)

2011-09-21 15:36:05 | 暮らし

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2011/09/26 本文・補足を修正

 
                             [8] 指数作用素のフラクタル分割

広田先生の [2] には「ハミルトニアン」や「シンプレックティック」の語句が見当たりませんが非線形振動子の方程式

    d2x/dt2 + a x + b x2 + c x3 = 0

における保存量を

    H(t) = (1/2)(dx/dt)2 + (1/2) a x2 + (1/3) b x3 +(1/4) c x4

とおいて H(t) の差分化を説明しています.いうまでもなく「H」はハミルトニアンを意味していますが,一般化座標や一般化運動量の計算はありません.このため,[2] の紹介は次回にまわして,とりあえず [8] で教わったシンプレックティック数値積分の式を紹介します.運動方程式が dθ/dt = ω, dω/dt = -sin θのときの運動エネルギー EK = (1/2)ω2 はωだけの式,位置エネルギー EU = (1-cosθ) はθだけの式です.シンプレクティック法では

    dθ/dt = ∂H/∂ω = dEK/dω,    dω/dt = -∂H/∂θ = -dEU/dθ

であることに着目してθ,ωを求めるのですが,時間発展のさせかたに特徴があります.

(1) 1次のシンプレクティック法の場合,まず ωn+1 = ωn - Δt sin θn を求め,θn+1 = θn + Δt ωn+1 とします.
(2) 2次のシンプレクティック法の場合は,ωn+ 1/2 = ωn - (Δt/2) sin θn, θn+1 = θn + Δt ωn+ 1/2, ωn+1 = ωn+ 1/2 - (Δt/2) sin θn+1 です.
(3) m 次(m ≧ 3)の場合は上図に示されるような指数作用素のフラクタル分解を用います.最初の式の右辺をm = 2 の場合で説明すると,a2 = 0, b2 = 1/2, a1 = 1, b1 = 1/2 です(A はθの更新,B はωの更新).係数 ai, bi は θn+1,ωn+1 のテイラー展開の誤差が O(tm+1) になるように定めます.

補足: f(t+Δt) を遅延作用素 Exp(Δt d/dt) = Σk=0, ∞ (1/k!)(Δt d/dt)k を用いて f(t+Δt) = Exp(Δt d/dt)f(t) と表わすことはよく行われますが,シンプレクティック法ではθだけを遅延させる作用素とωだけを遅延させる作用素が混在するため式が複雑になっています.

[8] Symplectic数値積分法
  http://www-cms.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~naoki/CIPINTRO/SYMP/index.html
  この文章は筆者が大学3年生の時に書いたものですので、・・・
  ※拍手!!
[9] 2 シンプレクティック法
  http://www.artcompsci.org/~makino/papers/ode/node3.html
  多変数だったら、もちろんまず速度の全要素を更新してから位置を更新しないといけないわけね。
  ※質量は定数ですから速度は運動量のようなものです.
[10] シンプレクティック幾何学 - Wikipedia
  http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%E3%83%97%E3%83%AC%E3%82%AF%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
  一般化速度の変換則は接ベクトルの変換則と同じであり、一般化運動量の変換則は余接ベクトルの変換則と同じである。
  ※全然理解できません.

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