@http://blog.goo.ne.jp/bonsai-chat/e/dae0627e1353625fdef78059df127610
=G6N%1:集合と写像
/GA9
G6N%01:まえがき
G6E%1のへの補足です．
G6E%2:実数の計算（ぼんさいノートmath.pdf第2章[#1]）への易しい補足です．
・gooブログの記事を読む前にG8E%0:gooブログでの HTML 対策を見てください．
・背景色は省いています．
・背景色は文意には影響しません．[G8E%3]
・よく分らない文や語句は無視してください．
・ぼんさいノートmath/pdf,phys.pdfで使用した慣用の記法に反した赤い文字列の
背景色にも薄茶色を使っています． [G8E%63]
%02:目次
%10:命題と集合（[G6N%1]では%10）
%11:真理値表（[G6N%1]では%11）
%12:命題の計算（[G6N%1]では%12）
%13:述語
%14:集合の計算
%15:写像
%16:自然数
%17:数学的帰納法
%03:補遺
%031:命題
http://dic.nicovideo.jp/a/%E5%91%BD%E9%A1%8C
%032:集合
http://mathtrain.jp/setsnotation
%033:記号論理学（数理論理学）
http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/edu/logic/logic1.html
%034:写像
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/set.html
%035:自然数
http://mathtrain.jp/naturalnumber
%036:ブール代数
(1)http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/boolean1.html
(2)http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/boolean2.html
%037:数学的帰納法
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/inductive_method1.htm
%038:白抜き太字
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%BB%92%E6%9D%BF%E5%A4%AA%E5%AD%97
%04:訂正
%05:質問の例
%06:回答の例
%07:らくがき
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G6N%10: 命題と集合
真偽を仮定できる文を命題という．
%101:「この花は赤い」は命題，「この小さい赤い花」は命題でない．
%1011:予測できない「明日雨が降る」は命題
%1012:主観的な「この本は面白い」は命題．
%1013:命令文「走れ」は命題でない．
命題X，Yの真偽がつねに等しいことを「X=Y」で表わす．
%102:命題Xが真であることを「X=T」偽であることを「X=F」と書く．
%103:正の整数を自然数という．
%1031:[%31]の「目次2:自然数の歴史と零の地位」に詳しい説明があります．
・当初は単なる便宜的な記数法であったが空集合の元の数を表わす大発明となった。
%1032:[%35]の「目次3.1 自然数の公理」にペアノの公理の説明があります．
%1033:[%033]の「目次3.3 述語論理」に述語論理（一階述語論理）の説明があります．
・二階述語論理や高階述語論理についての詳細は[%1033]で紹介されている
「二階述語論理」「高階述語論理」を参照。
%104:Nが自然数の集合であることを「N=`{x;「xは正の整数である．」}」と書く．
%1041:「xは正の整数である．」（肯定文）を「xは正の整数」と略記する．
%1042:数学では通常自然数の集合を「N」の黒板太字体で表わす．
・[%38]の「目次1 表示例」に詳しい説明があります．
・「」が自然数であることを「y∈N」と書く．
・ブログでは黒板太字体の文字の背景色をシアンにします．
・ユニコードでは、比較的よく用いられるごく僅かの黒板太字体の文字 (C, H, N, P, Q, R, Z) が基本多言語面 (BMP) に Letterlike Symbols (2100-214F) 面に、DOUBLE-STRUCK CAPITAL C などとして収録されている．
・「Z」は整数の集合，「Q」は有理数の集合，「R」は実数の集合，「C」は複素数の集合．
G6N%11: 真理値表
「X」が真(true)であることを「X=T」と書く．偽(false)であることを「X=F」と書く．（「T」「 F」は定数）
命題X，Y の関数「f(X,Y)」は次のような真理値表で定義する．
「￢X」=「Xでない」
「X∧Y」=「XかつY」
「X∨Y」=「XまたはY」
「X⇒Y」=「XならばY」
+-----+-------+-------+-------+--------+
| X Y | ￢X | X∧Y | X∨Y | X⇒Y |
+-----+-------+--------+--------+------+
| F F | T | F | F | T |
+-----+-------+--------+--------+------+
| F T | T | F | T | T |
+-----+-------+--------+--------+------+
| T F | F | F | T | F |
+-----+-------+--------+--------+------+
| T T | T | T | T | T |
+-----+-------+--------+--------+------+
・「X⇒Y」の定義は分り難いが，使っていると納得できる（場合分けに便利）．
・e.g.「(x<0)⇒y=-1」
G6N%12:命題の計算
・二項演算の公式冪等則，交換則，結合則，吸収則，分配則，については[%36]参照．
%121:高校で学ぶ推論の仕方は命題論理のつねに真である式で表現できる．
%1211:背理法
「X⇒(￢X)」=「X=F」「(￢Y)⇒(￢X)」=「X⇒Y」
%1212:三段論法
「X⇒Y」∧「W⇒X」∧「W」⇒「Y」
G6N%13: 述語
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%B0%E8%AA%9E
・論理学の述語については「述語論理」ををご覧ください。
「x=y」とは任意の述語P に対して「P(x)=P(y)」が 成立することを，
「∀x,P(x)」は「任意のxについてP(x)である．」を，
「∃x,P(x)」は「適当なxが存在してP(x)である．」を，
意味する（∀は全称記号，∃は存在記号）．
・「任意の述語P」について考えるときの「P」は変数（2階の述語論理）
「∀」，「∃」を含む命題に対しては,
%131:「￢∀x, P(x)」=「∃x, ￢P(x)」
%132:「￢∃x, P(x)」=「∀x, ￢P(x)」
と考える．
%133:重要な注意
慣用の記法では「∀x,∃y, P(x,y)」=「∀x,(∃y, P(x,y))」を意味し，
「y」は「x」に依存してもよい．
・理工系の大学生が全員学ぶ重要な概念「一様収束」と通常の「収束」の違いは
「∀」と「∃」の順序で区別される（具体的な表現は[G6E%30:極限]参照）．
G6N%14: 集合の計算
「(左辺)=(右辺)」によって右辺の式で左辺の意味 を定義し，
集合に対して[#]の演算を定める．
「a, b」のみを元とする集合を「A={a,b}」で表わし，「B={b,c}」とすると
共通集合：「(A∩B)={b}」
合併集合：「(A∪B)={a,b,c}」
直積集合：「(A×B)={(a,b),(a,c),(b,b),(b,c)}」であり，「(A∩Bc)={a}」
・「Bc」を「B」の補集合という．
・元が存在しない集合を空集合といい，「`{}」で表わす．
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88
形が似ているギリシャ文字「φ」とは無関係．
次のWikipediaの記事の目次(2 補集合)参照．
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E9%9B%86%E5%90%88
集合の包含関係については次の資料を参照．
G6N%15:写像
集合 A の元xを集合 B の元 f(x) 対応付ける f を写像といい，f:A→B とかく．
Aをfの定義域f(A)=`{y; y=f(x)}をfの値域という．（[%034]:の目次「 1 定義 1.1素朴な説明」参照）
・「写像」と（一価の）「函数(=関数)」は論理的におなじ概念[%34]．
とくにy=f(x)となる x が y から一意に求まるとき x=f-1(y) とかき，
このような f を1対 1写像， f-1を逆写像という．
・「y から一意に求まる」とは「∀w,w=f(x)⇒(w=x)」を意味する．
・f(A)=Bである f を上への写像，そうでない f を中への写像という．
G6N%16:自然数
f(x)の x は x の「次の数」を意味し，x 以下の自然数の集合を F(x) とすると
F(1)={1}，f(x)∈F(x)，F(f(x))=F(x)∪{f(x)}である．
・「∀x, f(x)=N-F(x)」だから自然数は無限に存在する(math.pdf[@16.1])．
G6N%17:数学的帰納法
「∀x,(x∈N)⇒P(x)」であることを次の手順で証明する方法を数学的帰納法という．
「P(1)」てあって「∀x,(P(x)⇒P(x+1))」
・その他の説明（[1] [2] [3]）
G6N171:「f(n)」＝「n以下の自然数の総和」とすると，
「f(3)=(1+2+3)=(3+2+1)=4+4+4=(1+3)*3/2」
一般に「f(n)=(n*(n+1)/2)」であることの証明は
「f(1)=1」`「∀n,「f(n)=(n*(n+1)/2)」⇒
「f(n+1)=(n*(n+1)/2)+(n+1)=(n+1)*((n+1)+1)/2=f(n+1)」」 [G6E%21]
@16.1: 自然数の集合
自然数の集合Nは次の条件を公理とする．
(1)1∈N ．
(2)∀x,(x∈N)⇒∃y,(y∈N)
(3)￢∃y,f(y)=1
(4)∀x,∀y,((x∈N)(y∈N))∧￢(x=y))⇒￢(f(x)=f(y)))
・通常(4)を次のようにかく
(∀x∈N,∀y∈N),(￢(x=y))⇒￢(f(x)=f(y)))
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