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解答例 (boiseweb)
2012-02-16 20:59:43
一般に，空間の3つのベクトルの2つずつがなす角を α,β,γ とすると，不等式
α ≦ β + γ
が成り立つことを使う．

θ1 ≦ θ2 を仮定して一般性を失わない．θ1, θ2 が鋭角か鈍角かで場合分け（直角は鋭角，鈍角どちらに入れても同じはず）．

(1) θ1, θ2 がともに鋭角の場合
(1a) θ ≦ θ2 の場合，θ2 が鋭角だから sinθ ≦ sin(θ2) となって ok．
(1b) θ2 ≦ θ の場合，不等式 θ ≦ θ1 + θ2 が成り立つことと，sin 関数が [ 0, π ] で上に凸であることを使う．

(2) θ1, θ2 がともに鈍角の場合
3つのベクトル -a, b, c の2つずつがなす角の関係を考えることで，
θ ≦ (π - θ1) + (π - θ2)
を得る．このことと，一般に sin(x) = sin(π-x) であることを使って (1) に帰着できる．

(3) θ1 が鋭角，θ2 が鈍角の場合
3つのベクトル a, -b, c の2つずつがなす角の関係を考えることで
(π - θ) ≦ θ1 + (π - θ2)
を得る．このことと，一般に sin(x) = sin(π-x) であることを使って (1) に帰着できる．
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