私の考えでは、3次元グラフィックスでのベクトルの直交化から見た方が分かりやすくて実用性があると思います。なので、ここから。
原点 `(0, 0, 0) (`()は列ベクトル)
を固定した回転を考えます。任意の空間位置での回転は、回転中心を原点まで平行移動して、原点固定で回転して、逆の平行移動で戻せば良いので、それも含むと考えてください。
物体の位置情報では無く、視点を回転させて、物体の回転を表現します。単位ベクトル(unit vector)とすると、後々の計算が楽になるので、
x方向 `(1, 0, 0)
y方向 `(0, 1, 0)
z方向 `(0, 0, 1)
からスタートします。
ところで、これはいわゆるベクトルの基底(base)に相当し、この3個で3次元空間を張る(span)と表現します。そこで、それっぽく、`ex、`ey、`ezと表すこととします(単位ベクトルは普通`eで表されて、私はelement (元素)の頭文字と思っているが、確証は無い)。
任意の空間位置pは位置ベクトル、
`(px, py, pz) = `p
で表され、
`p = px * `ex + py * `ey + pz * `ez
なので、px, py, pzは(位置)ベクトルの成分(component)と呼ばれます。
今は`ex, `ey, `ezが直交しているからこれでOKですが、直交していなかったら、つまり斜交していたら大変で、`ex, `ey, `ezが共変基底、px, py, pzは反変成分と区別して呼ばないといけないみたいです。みたいです、って、私はまだ理解途中です。完全に理解できたら、どこかでどや顔で中身を紹介します。直交している分には反変と共変は同じです。この状況を維持したい、というのが本計画の骨子です。多分、この方向の数学の核心に近づいていると思いますし。
