本日はなぜか西暦2020年2月22日と、十進数の2が並んでいるので、PS4の最新アイマスゲーム、ステラステージのPV新着で小祭りになっています。次は2年後ですか。
馬鹿馬鹿しいですけど、お付き合いします。祭りというのは、本来はこうした縁起物と思います。無理矢理な劣情と絡めるのは邪道と分類すべきでしょう。
その由来から簡単に想像できて、ZOMETOOLには大真面目で詳しい数学的な解説書があります(英文)。この調子ですと、日本語でもすでにネットで詳しく詳しく解説されているでしょうから、本ブログでは買うかどうか迷っている方のために、数学的基礎の解説を試みてみます。その詳しい解説書はまだ届いていません。この段階であれこれ想像して、当たった外れたと楽しむのが目的ですので、引用はご注意ください。
まずボールの方から。直径は2cm弱で、一円玉の直径と近いです。白色が本来のようで、しかし、デザイン上の配慮のために各種の色ボールが用意されています。
正12面体(12個の正五角形で囲まれた正多面体)、正20面体(20個の正三角形)、菱形30面体(対角線が黄金比の菱形30個で囲まれた多面体)を合わせたような感じで、それらの面の位置に穴が空いています。つまり、正五角形の穴が12個、正三角形の穴が20個、長方形の穴が30個です。
全体としては半正多面体(アルキメデスの立体)の一つ、菱形12・20面体というのに似ていますが、菱形12・20面体は正三角形、正方形、正五角形で覆われています。正方形で無く長方形にしたのはわざとで、2回回転軸というのを再現しています。それと、おそらくですけど、棒の強度の都合上、三角形と五角形の面積を近づける意味もあると思います。なので、このZOMEボールには幾何学的な名前は付いていないと思います。以後、区別が必要な場合はZOMEボールと表記します。
穴の形は長方形が2回回転軸ですから幾何学で言う正二角形のつもりのようです。素直に描くと辺というか線分になってしまいます。結晶学では楕円かアーモンドみたいな形の図形を採用しているようです。正三角形は3回回転軸で、3回の部分回転で一周(360°)となります。正五角形は5回回転軸を表します。
もちろん、穴と穴との中心角の関係が重要です。いわゆる正20面体系の対称性を持っています。
と言うことは、双対の概念を知っている方は、正五角形の穴を繋ぐと正20面体が、正三角形の穴を繋ぐと正12面体が出てくると、私みたいに直感的に思った方もおられるでしょうけど、ZOMETOOLではそうはなっていません。
正三角形の穴同士を繋ぐ黄色の棒の両端はもちろん正三角形の形をしていて、しかし、向きが半回転、つまり180°ひねられています。正五角形の穴を繋ぐ赤色の棒も両端で180°回転。正二角形、ここでは長方形の穴の方は平行ですけど、長方形ですから180°回転したのと同じです。
この構造のため、ZOMEボールは常に平行移動してしまい、回転しません。そう言われると、webで見られるZOMETOOLの組み立て後の写真が以前とは違って見えてきます。ZOMEボールが平行移動を保つのは、もちろんわざとそうしています。これをやらないと、たちまち大混乱となる、と思います。
ちなみに、正20面体も正12面体も、長方形の穴を繋ぐ青色の棒で実現できます。意外なことに立方体も青の辺で組み立てることが可能です。反面、正四面体と正八面体はそのままでは無理です。なので、プラトン立体のセットには緑の棒が用意されています。
それでは、正五角形の穴を等しい長さの赤色の棒で繋いで行くと何が現れるかというと、菱形30面体です。この菱形の対角線の比は黄金比(1:1.618...((1+√5)/2))になっています。
正三角形の穴を等しい長さの黄色の棒で繋いで行くと、何と、正八面体系の菱形12面体が出てきます。こちらの菱形の対角線の比は黄金比では無く白銀比(1:1.4142...(√2))です。
って、Creator1の1キットだけでは棒の数が足りません。しかし、容易に想像で補える程度までは組み立てられます。
なんだかLEGOの解説みたいに、ある特定の商品の説明になってしまいますが、幾何学的要素があるので続けます。
ZOMETOOL(ゾム・ツール)は直径2cmほどの穴の空いたプラスチックのボールを、接続用の色の付いたプラスチックの棒で繋いでいって、主に空間対称図形を楽しむ知育玩具です。
精度は高く、良く工夫されています。というのも、元々が数学論文の図録に掲載するための模型だったからです。
分子模型に似ていて、分子模型を扱った方なら操作に迷うことは無いと思います。
最初に注意点を言っておくと、まれにですが、精度上、かなりきつくはまってしまうことがあって、引き抜くのに苦労します。私は棒をキッチンペーパー4枚重ねで保護してペンチでつかみ、まっすぐに引っこ抜いています。ここで曲げたりねじったりすると容易に棒の頭部が折れてしまうと思います。ボールの方は再利用できますが、棒は壊れます。部品は個別に販売されていますが、国内で手に入れるのは結構な値段になる(LEGOほど数が売れるものではありません)と思います。丁寧に扱いましょう。
最初に買うのは「Creator 1」(クリエーター1)というセットが適切みたいです。というのは、ZOMETOOL全体の説明書(Manual 2.3)というのが同梱されているから。適切で簡潔な解説が見られます。特に棒の長さがどうなっているかは(設計意図)、これを見ないと分かりませんでした(幾何学に詳しければ、組み立てられた模型を見るだけで正体は分かります)。
ただし、何となく1シーズンで飽きる予感のある方は、もっと簡潔なセットをお勧めします。私が最初に買ったのは「Crazy BUBBLES」(驚異のシャボン玉)と呼ばれるセットですが、他にもありますからお好きに、と言ったところ。これでしばらく遊べるのなら、その手のデザインや数学の才能があると思います。
ところで、「Creator 1」に入っている棒は基本的な青(B)、黄(Y)、赤(R)の3種のみです。他にZOMETOOLには緑(G)と半緑(HG)の2種の棒があって、これの存在は知っておく方が良いです。そのためのセットは「Platonic Solids」つまりプラトン立体作成のキットが適切と思います。ただし、こちらはボールや棒の色が数学的(座標というか代数的)な分類では無く、幾何学的な要素の分類になっていて、最初の青、黄、赤の棒を知っていないと、多分、混乱します。
最終的にはHyperdoと呼ばれる豪華キットが欲しいところですが、高価です。
私には多少の因縁があるキットが2つあって、買ってしまいましたが、どれがそうなのかは言いません。買ってしまって損した気分にはならないはずです。
