昨日、推敲前の原稿を掲載したような気がします。見てしまった方には申し訳ありません。
本日も出張、と。途中で時間を持て余すのが確定していたので、いわゆる内職を。とは言ってもいつもの古典幾何学本に関連する調べ物、というか計算。
四面体はもちろん面が4つある立体図形です。辺が6個あって、個々に長さを変更できますから、いわゆる自由度は6つ。この中で、特徴があって名前の付いている四面体がいくつかあります。
この本のキーとなる四面体は、4直角四面体(二重直角四面体)と呼ばれるもので、4面がすべて直角三角形です。これを2個合わせると3直角四面体になり、それを2個合わせると両榍体(りょうせつたい: disphenoid: ダイ・スフェノイド)というのになります。
両榍体の榍は楔(くさび)と全く同じ意味らしく、しかし、普通の日本語入力では変換されません。最近出た秋山仁氏の楽しい幾何学の数学書では等面四面体(isotetrahedron)と呼ばれていて、物は同一です。立方体の交互の頂点を結ぶと正四面体になります。一般の直方体の交互の頂点を結ぶと両榍体になります。そう、4面とも合同な(一般の)三角形の四面体です。
ちょっと理由があって、これらの制限された四面体を観察していました。というのも、4直角四面体も3直角四面体も両榍体(等面四面体)も自由度は3です。これが空間の点の位置の自由度、3次元ですから3自由度、と一致するから。
つまり、ある空間の点を取って、それら四面体の面平面で鏡映すると4個の点の像が得られて、その位置関係が目下の関心事。隠さずに言うと、この操作はキラル、つまり左右非対称と関連していて、算術的には4次関数と関係している、…はずです。
で本日は両榍体に注目。まずは両榍体本体の性質の追求から。
で、アマチュア数学者の悲しさ、散々計算して、出てきたのはごく当たり前のこと。直円柱の底面と天井(?)に直径の線分を引きます。線分の一端と反対側の円の直径の線分の2端点を結ぶと四面体が出てきて、これが両榍体そのものでした。ふうっ。
