東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

ジュニア数学オリンピックの簡単な問題(86)

2016-11-05 12:24:14 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝に多かった雲が段々減り、昼前には青空が広がって、気持ちのいい陽射しの午後になりました。明日も同じような天気で、過ごしやすい週末になるようです。

さて、今回は2016年ジュニア数学オリンピック予選に出題された場合の数の問題を取り上げます。

問題は、
「6×6のマス目があり、このうち6つのマスを選んで黒く塗る。マス目と同じ大きさの透明な板を何枚か用意し、得られたマス目を書き写す。それぞれの板に回転や裏返しを施して、同じ大きさの正方形の上にはみださないように重ねて置いたところ、正方形全体を黒く塗った部分で覆うことができた。このとき、はじめのマス目の塗り方は何通りあるか。
 ただし、回転や裏返しで重なるものも異なるものとして数える。」
です。

▲問題図

早速、取り掛かりましょう。

6×6の各マス目について、それを回転、裏返ししてカバーするマス目を調べていきましょう。

まず、図1に示す、左上隅のマス目です。


▲図1.左上隅のマス目を回転、裏返ししてカバーできるマス目を調べます

図1のように、左上隅のマス目は、時計廻りに90°、180°、270°回転させることで、それぞれ右上隅、右下隅および左下隅をカバーします。

また、左上隅のマス目は、縦の線または横の線を軸に裏返したとき、それぞれ右上隅のマス目と左下隅のマス目をカバーしますが、これは回転させたときにカバーするマス目と同じです。

したがって、左上隅に色を塗った場合、それを回転、裏返ししてカバーできるマス目は4隅になります。

次に、左上隅の右隣のマス目を調べます。

このとき、時計廻りに90°、180°、270°回転させることで、図2の青色で塗ったマス目をカバーします。


▲図2.左上隅の右隣のマス目を回転してカバーできるマス目を調べます

また、図3のように、左上隅の右隣のマス目を縦の線を軸に裏返したとき、右上隅の左隣のマス目をカバーします。


▲図3.左上隅の右隣のマス目を縦の線を軸に裏返しました

そして、この裏返した状態で、時計廻りに90°、180°270°回転させることにより、それぞれ右下隅の上隣、左下隅の右隣、左上隅の下隣のマス目をカバーします。(横の線で裏返し、回転させたときにカバーするマス目は、縦の線で裏返して回転したものと同じになります)

以上と同じように、残ったマス目を調べていくと、図4から7のようになります。


▲図4.左上隅の右2つ隣のマス目を回転、裏返ししてカバーするマス目です



▲図5.左上隅の1つ内側のマス目を回転してカバーするマス目です



▲図6.左上隅の1つ内側の右隣のマス目を回転、裏返ししてカバーするマス目です



▲図7.左上隅の2つ内側のマス目を回転してカバーするマス目です

以上で、6×6のマス目全体に色を塗ることができました。

このとき、図7の同じ色で塗ったマス目については、そのなかの1つを塗れば、回転、裏返しを施すことによって、同色のすべてのマス目をカバーします。

したがって、6×6のマス目全体を塗るのに必要な最小のマス目数は、赤、青、黄、緑、桃、紫の6種類からそれぞれ1個選ぶ場合で(問題に指定された6マスになりました)、その選び方は、
4(赤)×8(青)×8(黄)×4(緑)×8(桃)×4(紫)=32768通り
で、これが答えです。


簡単ですが楽しい問題です。

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