東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

2020年日本数学オリンピック予選の問題(10)

2020-06-29 09:59:46 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2020年日本数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「8×8のマス目を図のように白と黒の2色で塗り分ける。黒い駒4個と白い駒4個をそれぞれいずれかのマスに置き、以下の条件をみたすようにする方法は何通りあるか。

 各行・各列にちょうど1個の駒が置かれており、黒い駒は黒いマスに、白い駒は白いマスに置かれている。

ただし、同じ色の駒は区別せず、回転や裏返しにより一致する置き方も異なるものとして数える。」


です。

早速、取り掛かりましょう。

問題に与えられたマス目を基にして勘定してもOKですが、図1のように、マス目を並び替えると判りやすくなります。


▲図1.マス目を並び替えました

図1の左側のマス目(元のマス目)の奇数行を上側に順に寄せて並べると中央のマス目になり、さらに、中央のマス目の奇数列目を左側に順に寄せて並べると右側のマス目になります。

このとき、右側のマス目のいずれの行、列も元のマス目の並び替えになっています。

したがって、元のマス目で、「各行、各列にちょうど1個の駒が置かれること」は、図1の右側のマス目で、「各行、各列にちょうど1個の駒が置かれる」ことになります。

また、「黒い駒は黒いマスに、白い駒は白いマスに置かれる」ので、図1の右側のマス目の、左上側と右下側のそれぞれ4×4のマス目に黒い駒が置かれ、左下側と右上側のそれぞれ4×4のマス目に白い駒が置かれることになります。

そこで図2のように、図1の右側のマス目の左上側の4×4のマス目に4個または3個の黒い駒を置いてみましょう。


▲図2.左上側の4×4のマス目に4個または3個の黒い駒を置いてみました

すると、
● 4個の黒い駒を図2の左側のように置いた場合
→ 白い駒を置くことができません。

● 3個の黒い駒を図2の右側のように置いた場合
→ 赤色線で囲んだマスのいずれかに白い駒を1個しか置くことができません。
です。

したがって、左上側と右下側の4×4のマス目のそれぞれに黒い駒2個ずつを置くことになり、同様に、左下側と右上側の4×4のマス目のそれぞれに白い駒を2個ずつ置くことになります。

あとは、4つの4×4のマス目に対して黒い駒または白い駒の置き方を勘定してお仕舞です。

左上側と右下側の2つの4×4のマス目に対して、それぞれ2個ずつの黒い駒の置き方は、4×4のマス目に対して、行(または列)の選び方が、

、1つ目の黒い駒の列(または行)の選び方が4通り、2つ目の黒い駒の列(または行)の選び方が3通りなので、
6×4×3×6×4×3=5184(通り)
です。

このとき、左下側と右上側の2つの4×4のマス目に対して、それぞれ2個ずつの白い駒の置き方は、
2×2=4(通り)
です。(例えば参考図のように黒い駒を置いた場合、白い駒の置き方は、赤色線でマークした2つの2×2のマス目に対して、それぞれ2個ずつの白い駒の置き方になり、それはそれぞれ2通りずつになります)

▲参考図
  
以上から、与えられた条件をみたす駒の置き方は、
5184×4= 20736(通り)
で、これが答えです。 


簡単な問題です。

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