東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

日本数学オリンピックの簡単な問題(99)

2017-01-04 12:25:34 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

朝のラジオで、今日は3月のぽかぽか陽気と言っていた通り、外を歩くときも手袋がいらないほどです。ところが、明日からシベリア高気圧が近づいてきてぐっと冷え込み、今日明日の寒暖差が大きくなるようです。風邪などひかぬよう気をつけて過ごしましょう。

さて、今回は2016年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「円に内接する六角形ABCDEFについて、半直線ABと半直線DCの交点をP、半直線BCと半直線EDの交点をQ、半直線CDと半直線FEの交点をR、半直線DEと半直線AFの交点をSとすると、∠BPC=50°、∠CQD=45°、∠DRE=40°、∠ESF=35°であった。
 直線BEと直線CFの交点をTとするとき、∠BTCの大きさを求めよ。」
です。

早速、図1のように、問題の図を描きましょう。


▲図1.問題の図を描きました

少し捉え辛いですが、∠BTCが△BFTの外角なので、∠FBTと∠BFTの和を求めるのが良さそうです。

そこで図2のように、AとC、BとFをそれぞれ直線で結びましょう。


▲図2.AとC、BとFを直線で結びました

すると、△ACPにおいて、
∠ACD=∠CAP+∠APC     (1)
が成り立ちます。

このとき、弧BCに対する円周角が等しいので、
∠CAP=∠CAB
    =∠CFB(
です。

そして、∠APC=50°なので、(1)は、
∠ACD=∠CFB()+50°   (2)
になります。

続いて、図3のように、AとE、BとFをそれぞれ直線で結びましょう。


▲図3.AとE、BとFを直線で結びました

すると、△AESにおいて、
∠AED=∠EAS+∠ASE     (3)
が成り立ちます。

このとき、弧EFに対する円周角が等しいので、
∠EAS=∠EAF
    =∠EBF(
です。

そして、∠ASE=35°なので、(3)は、
∠AED=∠EBF()+35°    (4)   
になります。

あとは、図4のように、四角形ACDEに注目して、これが円に内接していることから、
∠ACD+∠AED=180°
が成り立ち、これに(2)と(4)を代入して、
∠ACD+∠AED=∠CFB()+50° +∠EBF()+35°
         =∠CFB()+∠EBF()+85°
         =180°
で、これから、
∠CFB()+∠EBF()=180°-85°
                 =95°
です。


▲図4.四角形ACDEに注目します

したがって、
∠BTC=∠CFB()+∠EBF(
    =95°
になり、これが答えです。


あまり面白くない問題です。

東久留米の学習塾学研CAIスクール 東久留米滝山校
http://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
ジャンル:
ウェブログ
コメント   この記事についてブログを書く
この記事をはてなブックマークに追加
« 日本数学オリンピックの難し... | トップ | 日本数学オリンピックの簡単... »
最近の画像もっと見る

コメントを投稿

数学・算数の話」カテゴリの最新記事