東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

図形問題(52)

2020-09-27 09:19:22 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2014年AIMEの図形問題です。

問題は、
「正方形ABCDの辺上の点E、F、G、Hはそれぞれ辺AB、BC、CD、DA上にあり、EG⊥FH、EG=FH=34を満たしている。このとき、直線EGとFHの交点をPとする。


▲問題図

ここで、四角形AEPH、BFPE、CGPF、DHPGの面積比が、269:275:405:411になるとき、正方形ABCDの面積を求めよ。」
です。

図1のように、与えられた条件を書き入れました。


▲図1.与えられた条件を書き入れました

ここで、四角形AEPH、BFPE、CGPF、DHPGの面積をそれぞれ269s、275s、405s、411sとすると、
(正方形ABCDの面積)=269s+275s+405s+411s
            =1360s
で、さらに、
(台形ADGEの面積)=(台形BCGEの面積)=680s
から、直線EGは正方形ABCDの対角線の交点Oを通ることが判ります。

次に図2のように、点Oを通り、直線FHに平行な直線を引き、直線FHと辺AD、BCとの交点をそれぞれK、Lとすると、
四角形AEOK≡ 四角形BLOE≡ 四角形CGOL≡ 四角形DKOG
から、
(四角形AEOKの面積)=(四角形BLOEの面積)=(四角形CGOLの面積)
            =340s
です。


▲図2.直線KLを引きました

すると、
(台形OPHKの面積)=(四角形AEOKの面積)-(四角形AEPHの面積)
            =340s-269s
            =71s
(台形OPFLの面積)=(四角形BLOEの面積)-(四角形BFPEの面積)
            =340s-275s
            =65s
で、これから、
(平行四辺形FHKLの面積)=(台形OPHKの面積)+(台形OPFLの面積)
              =71s+65s
              =136s
になります。

ここで、正方形ABCDの一辺の長さをaとすると、

から

になります。

続いて図3のように、点Oから辺ADと辺ABに下した垂線の足をそれぞれM、Nとし、さらに直線ONと直線FHの交点をQとします。


▲図3.点Oから辺AD、ABに垂線を下ろしました

このとき、平行四辺形OQFL≡ 平行四辺形OQHKなので、

です。

すると、
(△OPQの面積)=(平行四辺形OQFLの面積)-(台形OPFL)
         =68s-65s
         =3s
になります。

一方、△OPQ∽△ONEで、その相似比が、

であることから、

で、これに、

を代入すると、

になります。

ここで、△ONEに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これに、

を代入すると、

になり、これから、

です。

すると(1)と(2)から、

が成り立ちます。

あとは、(3)から

を求めればお仕舞です。

そこで(3)の両辺を2乗して、変形・整理すると、

になり、これから、

です。

このとき、正方形ABCDの対角線の長さ

は、線分EGの長さ34以上であることから、

で、したがって、

です。

以上から、正方形ABCDの面積は 850 で、これが答えです。


簡単な問題です。

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