日本数学オリンピックの簡単な問題（１４２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年日本数学オリンピック予選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣは直角二等辺三角形で、∠Ａ＝９０°である。その内部に３点Ｘ、Ｙ、Ｚをとったところ、三角形ＸＹＺは∠Ｘ＝９０°であるような直角二等辺三角形であり、さらに３点Ａ、Ｙ、ＸおよびＢ、Ｚ、ＹおよびＣ、Ｘ、Ｙはそれぞれこの順に同一線上に並んでいた。ＡＢ＝１、ＸＹ＝１/４のとき、線分ＡＸの長さを求めよ。ただし、ＳＴで線分ＳＴの長さを表すものとする。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

図１を眺めると、△ＡＢＹと△ＢＣＺが相似になっていそうなので、調べてみましょう。

図２のように、
∠ＡＹＢ＝１８０°－∠ＸＹＺ＝１８０°－４５°＝１３５°
∠ＢＺＣ～１８０°－∠ＸＺＹ＝１８０°－４５°＝１３５°
から
∠ＡＹＢ＝∠ＢＺＣ
です。

▲図２．△ＡＢＹ∽△ＢＣＺです

さらに、
∠ＡＢＹ＝∠ＡＢＣ－∠ＣＢＺ＝４５°－∠ＣＢＺ
∠ＢＣＺ＝１８０°－∠ＢＺＣ－∠ＣＢＺ＝１８０°－１３５°－∠ＣＢＺ＝４５°－∠ＣＢＺ
から
∠ＡＢＹ＝∠ＢＣＺ
です。

したがって、△ＡＢＹ∽△ＢＣＺであることが明らかになりました。

そして、ＡＢ：ＢＣ＝１：√２から△ＡＢＹと△ＢＣＺの相似比は、√２です。

これが判れば後は一本道です。

図３のように、ＡＹ＝ｘとおくと、

になります。

▲図３．ＡＸ＝ｘとしてＣＸをｘの式で表します

ここで、直角三角形ＸＡＣに三平方の定理を適用すると、

が成り立ち、これにＡＸ＝ｘ＋１/４、ＣＸ＝２ｘ＋１/４、ＡＣ＝１を代入して、

を得ます。

これを展開、整理すると、

になり、これを２次方程式の解の公式を使って解くと、

です。

ここで、ｘ＞０ですから、

です。

したがって、

で、これが答えです。


簡単な問題です。