図形問題（１２）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００９年灘高入試に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「次の［　　］内に適する数を記入せよ。

図のように２つの直角三角形ＡＢＣとＡＢＤがある。辺ＡＤと辺ＤＣの交点をＥとし、Ｅを通り辺ＡＢに垂直な直線と辺ＡＢとの交点をＦとする。
ＡＢ＝６５ｃｍ、ＡＣ＝３９ｃｍ、ＢＤ＝２５ｃｍ のとき、
ＥＦ＝［　　］ｃｍ である。」

▲問題図

です。

図１のように、与えられた条件を書き入れましょう。

▲図１．与えられた条件を書き入れました

△ＡＢＣと△ＡＢＤにそれぞれ三平方の定理を適用し、ＢＣとＡＤの長さを計算すると、図２のように、
ＢＣ＝５２ｃｍ
ＡＤ＝６０ｃｍ
になります。（△ＡＢＣは、３辺の長さの比が５：４：３、△ＡＢＤは１３：１２：５の直角三角形であることを利用すると簡単です）

▲図２．ＢＣ＝５２ｃｍ、ＡＤ＝６０ｃｍです

一方、△ＡＣＥ∽△ＢＤＥでその相似比が３９/２５であることから、図３のように、ＡＥ＝３９ｐ、ＢＥ＝２５ｐ、ＣＥ＝３９ｑ、ＤＥ＝２５ｑとすることができます。

▲図３．ＡＥ＝３９ｐ、ＢＥ＝２５ｐ、ＣＥ＝３９ｑ、ＤＥ＝２５ｑとしました

このときＢＣ＝ＢＥ＋ＣＥ、ＡＤ＝ＡＥ＋ＤＥ から
５２＝２５ｐ＋３９ｑ　　　　　　　　　　　　（１）
６０＝３９ｐ＋２５ｑ　　　　　　　　　　　　（２）
が成り立ちます。

（１）＋（２）と（２）－（１）はそれぞれ、
６４（ｐ＋ｑ）＝１１２　→　ｐ＋ｑ＝７/４　　（３）
１４（ｐ－ｑ）＝８　　　→　ｐ－ｑ＝４/７　　（４）
になり、（３）＋（４）から
２ｐ＝７/４＋４/７＝６５/２８
　ｐ＝６５/５６
で、
ＡＥ＝３９×６５/５６（ｃｍ）
になります。

さらに図４のように、相似三角形△ＡＢＤと△ＡＥＦに注目すると、
ＢＤ/ＡＢ＝ＥＦ/ＡＥ　　　　　　　　　　　　（５）
が成り立ちます。

▲図４．△ＡＢＤ∽△ＡＥＦです

最後に（５）に、ＢＤ＝２５（ｃｍ）、ＡＢ＝６５（ｃｍ）、ＡＥ＝３９×６５/５６（ｃｍ）を代入すると、
ＥＦ＝２５/６５×３９×６５/５６＝２５×３９/５６＝９７５/５６（ｃｍ）
で、これが答えです。


簡単な問題です。