資料の整理の問題［開成高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１７年開成高入試に出題された資料の整理の問題を取り上げます。

問題は、
「次の文章の空欄にあてはまる値、数式を答えよ。結果のみ解答欄に書くこと。

４０人のクラスで３問からなる試験を行った。問題Ａは配点が５点、問題Ｂは配点が７点、問題Ｃは配点が３点であり、各問題の得点は満点か０点のいずれかである。問題Ａの正解者は２８名、問題Ｂの正解者は２２名、問題Ｃの正解者は、全員、問題Ａと問題Ｂの両方正解していた。また、問題Ｃの正解者は問題Ａと問題Ｂを両方正解した生徒のうちちょうど４割だった。

この試験の得点分布の平均値として考えられる数値をすべてあげると、［ け ］となり、このうち最も高い平均値の場合について考えると、得点分布の中央値は［ こ ］である。」
です。

図１のように、ベン図を利用するのが良いでしょう。

▲図１．与えられた条件をベン図で表しました

問題ＡとＢを両方正解した人数をｎとすると、
ｎ≦２８ （←問題Ａの正解者数）
かつ
ｎ≦２２ （←問題Ｂの正解者数）
が成り立ち、これから、
ｎ≦２２
です。

さらに、問題Ｃを正解した人数０．４ｎは整数になるので、
ｎ＝５、１０、１５、２０
になります。

ここで、４０名の総得点を計算すると、
（問題Ａの配点）×（問題Ａの正解者数）＋（問題Ｂの配点）×（問題Ｂの正解者数）＋（問題Ｃの配点）×（問題Ｃの正解者数）
＝５×２８＋７×２２＋３×０．４ｎ
＝１４０＋１５４＋１．２ｎ
＝２９４＋１．２ｎ
になり、ｎ＝５、１０、１５、２０のときの平均値は、それぞれ、
（２９４＋１．２×５）　÷４０＝７．５
（２９４＋１．２×１０）÷４０＝７．６５
（２９４＋１．２×１５）÷４０＝７．８
（２９４＋１．２×２０）÷４０＝７．９５
になります。

したがって、［け］は
７．５
７．６５
７．８
７．９５
でこれが答えです。

次に平均値が最大の場合の中央値を求めましょう。

図２のように、
・ 問題Ａだけ正解した人数 　　　： 　８名
・ 問題Ｂだけ正解した人数 　　　： 　２名
・ 問題Ｃだけ正解した人数 　　　： 　０名
・ 問題ＡとＢだけ正解した人数　 ： １２名
・ 問題ＢとＣだけ正解した人数 　： 　０名
・ 問題ＣとＡだけ正解した人数 　： 　０名
・ 問題Ａ、Ｂ、Ｃに正解した人数 ： 　８名
です。

▲図２．各問題の正解者数を勘定しました

これらの合計人数は３０名なので、全問不正解だった人数は１０名になります。

ここで、得点分布を調べると、点数の低い順に、
・ 全問不正解　　　　　０点　：　１０名
・ 問題Ａだけ正解　　　５点　：　　８名
・ 問題Ｂだけ正解　　　７点　：　　２名
・ 問題ＡとＢに正解　１２点　：　１２名
・ 全問正解　　　　　１５点　：　　８名
になります。

このとき中央値は、得点が低いほうから２０番目と２１番目の得点の平均値になるので、
（７＋１２）÷２＝９．５
で、これが［ こ ］の答えです。


なかなか面白い問題です。

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