こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、平成16年度東大入試問題(前期、文系)です。
問題は、
「xy平面の放物線
上の3点P、Q、Rが次の条件を満たしている。
△PQRは1辺の長さaの正三角形であり、点P、Qを通る直線の傾きは
である。
このとき、aの値を求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
図1のように、問題の条件を描きましょう。ここで、
としました。(今回は、点P、Q、Rの位置を図1として調べます。点Rが直線PQの右下側にあるときも同じになると思います)
▲図1.問題の条件を図に描きました
まず、直線PQの傾きの条件を調べましょう。
直線PQの傾きは、
なので、
になります。
ここで図2のように、点Pからx軸に平行な直線と点Qからy軸に平行な直線の交点をHとします
▲図2.△PQHを調べます
このとき、直角三角形PQHの辺の長さの比は、三平方の定理から
です。
また、線分PQの中点をMとすると、Mのx座標、y座標はそれぞれ、
になります。
すると、
から
になります。
次に図3のように、点Mを通り直線PQに垂直な直線RMの式を求め、点Rの座標を計算しましょう。
▲図3.直線MRの式を求め点Rの座標を計算します
直線PQに垂直な直線の傾きは
なので、直線MRは、
で、これを整理すると、
になります。
このとき、点Rは(1)と
の交点なので、点Rのx座標は、
の小さいほうに解(大きい方の解は直線PQの右下側になります)で、
で、これと(1)から点Rのy座標は、
になります。
ここで、線分RMの長さの2乗を計算すると、
になり、これは1辺の長さがaの正三角形の高さの2乗に等しいので、
が成り立ちます。
最後に(2)を解けばお仕舞いです。
(2)の両辺の( )内はいずれも正なので、
となり、これを変形・整理してaを求めると、
から
で、これが答えです。
計算が煩雑になりましたが、簡単な問題です。
今回は、平成16年度東大入試問題(前期、文系)です。
問題は、
「xy平面の放物線
上の3点P、Q、Rが次の条件を満たしている。
△PQRは1辺の長さaの正三角形であり、点P、Qを通る直線の傾きは
である。
このとき、aの値を求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
図1のように、問題の条件を描きましょう。ここで、
としました。(今回は、点P、Q、Rの位置を図1として調べます。点Rが直線PQの右下側にあるときも同じになると思います)
▲図1.問題の条件を図に描きました
まず、直線PQの傾きの条件を調べましょう。
直線PQの傾きは、
なので、
になります。
ここで図2のように、点Pからx軸に平行な直線と点Qからy軸に平行な直線の交点をHとします
▲図2.△PQHを調べます
このとき、直角三角形PQHの辺の長さの比は、三平方の定理から
です。
また、線分PQの中点をMとすると、Mのx座標、y座標はそれぞれ、
になります。
すると、
から
になります。
次に図3のように、点Mを通り直線PQに垂直な直線RMの式を求め、点Rの座標を計算しましょう。
▲図3.直線MRの式を求め点Rの座標を計算します
直線PQに垂直な直線の傾きは
なので、直線MRは、
で、これを整理すると、
になります。
このとき、点Rは(1)と
の交点なので、点Rのx座標は、
の小さいほうに解(大きい方の解は直線PQの右下側になります)で、
で、これと(1)から点Rのy座標は、
になります。
ここで、線分RMの長さの2乗を計算すると、
になり、これは1辺の長さがaの正三角形の高さの2乗に等しいので、
が成り立ちます。
最後に(2)を解けばお仕舞いです。
(2)の両辺の( )内はいずれも正なので、
となり、これを変形・整理してaを求めると、
から
で、これが答えです。
計算が煩雑になりましたが、簡単な問題です。