東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

中学入試問題R2(13)[麻布中]

2020-02-14 10:48:06 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度麻布中の問題です。

問題は、
「下の図のように、半径5cmの半円を、4つの直線によって ア、イ、ウ、エ、オ の5つの部分に分けます。ここで、図の点C、D、Eは直径ABを4等分する点です。また、〇の印がついた4つの角の大きさはすべて45°です。


このとき、以下の問いに答えなさい。

(1) アの面積は何cm2ですか。
(2) イとエの面積の和からウとオの面積の和を引くと、何cm2になりますか。」
です。

図1のように、アとイを区切る直線と弧ABとの交点で、Bでない方の点をFとすると、△DBFは直角二等辺三角形になります。


▲図1.アとイを区切る直線と弧ABとの交点をFとしました

したがって、

で、これが(1)の答えです。

続いて(2)です。

図2のように、イとウ、ウとエ、エとオを区切る直線と弧ABとの交点をそれぞれG、H、Iとします。


▲図2.イ、ウ、エ、オを区切る直線とと弧ABとの交点をそれぞれG、H、Iとしました

さらに図3のように、直線EG、直線DH、直線CIと直線AFとの交点をそれぞれK、L、Mとし、
台形BFKE → い
台形EKLD → う
台形DLMC → え
三角形CMA → お
とします。      


▲図3.い、う、え、お を決めました

ここで、求める面積の差をZとすると、
Z=(面積イ)+(面積エ)-{(面積ウ)+(面積オ)}
 =(面積い)+(KFGの面積)+(面積え)+(LHIMの面積)
  -{(面積う)+(LHGKの面積)+(面積お)+(MAIの面積)}
で、このとき、図形KFG≡図形MAI、図形LHIM≡図形LHGK から、
Z=(面積い)+(面積え)-{(面積う)+(面積お)}    [★]
です。

一方、

で、これは、い、う、え、お の面積の和に等しいので、
(面積い)+(面積う)+(面積え)+(面積お)=25(cm2) [1]
になります。

さらに、△ABF∽△AEK∽△ADL∽△ACM で、これらの相似比は 4:3:2:1 なので、

です。

このとき、
△AEKの面積は、う、え、お の面積の和
△ADLの面積は、え、お の面積の和
△ACMの面積は、お の面積
と等しいので、

です。

すると、
[1]-[2]から

[2]-[3]から

[3]-[4]から

になり、これらと[★]から

で、これが答えです。


簡単な問題です。

学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
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