東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

2020年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題(1)

2020-03-23 11:01:51 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2020年日本ジュニア数学オリンピック予選の問題です。

問題は、
「直角三角形ABCと正方形が図のように重なっている。


図に書き込まれている3つの数は、それぞれ斜線で塗られた3つの直角三角形の面積を表している。
このとき、

を求めよ。ただし、XYで線分XYの長さを表すものとする。」
です。

図1のように、正方形の頂点をD、E、Fとし、直線BCと直線DE、EFとの交点をそれぞれGとHとします。


▲図1.正方形の頂点をD、E、Fとし、直線BCと直線DE、EFとの交点をそれぞれGとHとしました

ここで、△BDG∽△HEG∽△HFCで、これらの面積比が1:4:9であることから、これらの相似比は1:2:3になり、したがって、
BD:EH:HF=1:2:3 → AD:AB=5:6       (1)
DG:GE:FC=1:2:3 → AF:AC=3:6=1:2   (2)
が成り立ちます。

このとき、四角形ADEFは正方形なので、AD=AFが成り立ち、したがって、(1)と(2)はそれぞれ、
AD:AB=5:6            (3)
AF:AC=AD:AC=5:10     (4)
になります。

最後に、(3)と(4)を組み合わせて、
AD:AB:AC=5:6:10
で、これから、
AB:AC=6:10=3:5
です。

以上から

で、これが答えです。


簡単な問題です。

学研CAIスクール 東久留米滝山校
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TEL 042-472-5533
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