東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

組合せの問題(23)

2020-12-02 09:30:39 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2006年AIMEの組合せの問題です。

問題は、
「(a1,a2,a3,・・・,a12)は(1,2,3,・・・,12)の順列で、
1>a2>a3>a4>a5>a6

6<a7<a8<a9<a10<a11<a12
を満たす。例えば、(6,5,4,3,2,1,7,8,9,10,11,12)は、その一例である。このような順列の個数を求めよ。」
です。

1>a2>a3>a4>a5>a6

12>a11>a10>a9>a8>a7>a6
から、a6=1 で、さらに、a1=12 または a12=12 になります。

ここから、a1=12の場合と a12=12の場合に分けて調べます。

1=12 の場合
1=12、a6=1 なので、2以上11以下の10個の整数のなかから4個の整数を選び、それらを大きい順に a2、a3、a4、a5 とし、さらに残りの6個の整数を 小さい順にa7、a8、a9、a10、a11、a12 とすれば条件を満たす順列になります。

したがって、条件を満たす順列の個数は、

です。

12=12 の場合
12=12、a6=1 なので、2以上11以下の10個の整数のなかから5個の整数を選び、それらを大きい順に a1、a2、a3、a4、a5 とし、さらに残りの5個の整数を 小さい順にa7、a8、a9、a10、a11 とすれば条件を満たす順列になります。

したがって、条件を満たす順列の個数は、

です。

以上から、条件を満たす順列の個数は、210+252=462(個) で、これが答えです。


簡単な問題です。

学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
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