東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

組合せの問題(19)

2020-10-23 09:10:21 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2012年AIMEの組合せの問題です。

問題は、
「正の実数xに対して[x]をx以下の最大の整数とするとき、n=x[x]を満たす1000より小さい正の整数nの個数を求めよ。」
です。

xの整数部分をm、小数部分をdとすると、
x=m+d
になり、このとき、
n=x[x]=(m+d)m≧1
から、
m≧1
で、一方、
0≦d<1
です。

また、

から、
m≦31
で、したがって、
1≦m≦31
になり、ここで、

から、1≦m≦31のとき、n<1000になります。

続いて、

が整数になる条件を調べると、

が整数であることから、mdが整数の場合、nが整数になることが判ります。

そこで、1≦m≦31、0≦d<1の下で mdが整数になる場合を調べてnの個数を勘定していきましょう。

・ m=1の場合

のとき、md=0 → n=1 で、したがって、nの個数は1個です。

・ m=2の場合

のとき、md=0,1 → n=4,5 で、したがって、nの個数は2個です。

・ m=3の場合

のとき、md=0,1,2 → n=9,10,11 で、したがって、nの個数は3個です。
   ・
   ・
   ・
・ m=31の場合

のとき、md=0,1,・・・,30 → n=961,962,・・・,991 で、したがって、nの個数は31個です。

以上から、nの個数は、

で、 これが答えです。  


簡単な問題です。

学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
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