整数問題（２４）［灘高］

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年灘高入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「ｐは３以上の素数とする。

（１） ａｂ＝２ｐ を満たす自然数 ａ、ｂ の組は全部で［　　］組ある。

（２） ｘ、ｙ は自然数で、

を満たす。
　　ⅰ） ｘ－ｙ の値を求めよ。
　　ⅱ） さらに、ｘ/ｙ が自然数であるとき、ｘ、ｙ、ｐ の組をすべて求めよ。」
です。

ｐは素数なので、ａｂ＝２ｐ を満たす自然数ａ、ｂの組（ａ，ｂ）は、（１，２ｐ）、（２，ｐ）、（ｐ，２）、（２ｐ，１）の ４ 組で、これが（１）の答えです。

次に（２）のⅰ）です。

与えられた等式を

とし、左辺を因数分解すると、
（ｘ－ｙ）（２ｘ＋２ｙ－１）＝２ｐ　　　　［１］
になります。

このとき、２ｘ＋２ｙ－１＞０、２ｐ＞０から ｘ－ｙ＞０になり、したがって、２ｘ＋２ｙ－１、ｘ－ｙ は自然数です。

また、
２ｘ＋２ｙ－１－（ｘ－ｙ）＝ｘ＋３ｙ－１＞０
なので、
２ｘ＋２ｙ－１＞ｘ－ｙ
になります。

したがって、［１］を満たす自然数２ｘ＋２ｙ－１、ｘ－ｙ の組合せ（２ｘ＋２ｙ－１，ｘ－ｙ）は、（２ｐ，１）または（ｐ，２）になります。

● （２ｐ，１）の場合
２ｘ＋２ｙ－１ は奇数、２ｐは偶数なので、（２ｐ，１）は不適です。

● （ｐ，２）の場合
２ｘ＋２ｙ－１＝ｐ　　　　　　　　　　　　［２］
ｘ－ｙ＝２　　　　　　　　　　　　　　　　［３］
から、
４ｘ－５＝ｐ
で、例えば、ｘ＝３のとき、ｙ＝１、ｐ＝７になり、これはｙが自然数、ｐが３以上の素数という条件を満たします。

したがって、ｘ－ｙの値は ２ で、これがⅰ）の答えです。

最後に（２）のⅱ）です。

ｘ/ｙ＝ｎ （ｎは自然数）
とすると、
ｘ＝ｎｙ　　　　　　　　　　　　　　　　　［４］
です。

これを［３］に代入して、
ｎｙ－ｙ＝（ｎ－１）ｙ＝２
とすると、これを満たす整数ｎ－１と自然数ｙの組（ｎ－１，ｙ）は、（１，２）、（２，１）になります。

● （１，２）の場合
ｎ＝２、ｙ＝２ で、［４］からｘ＝４になり、［２］から ｐ＝１１ になります。

● （２，１）の場合
ｎ＝３、ｙ＝１ で、［４］からｘ＝３になり、［２］から ｐ＝７ になります。

したがって、条件を満たすｘ、ｙ、ｐの組合せ（ｘ，ｙ，ｐ）は、（４，２，１１）、（３，１，７）で、これがⅱ）の答えです。


簡単な問題です。

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