図形問題（５０）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１５年ＡＩＭＥの図形問題です。

問題は、
「下図の四角形ＡＢＣＤは正方形で、点Ｅは辺ＡＤの中点である。

点Ｆと点Ｇは線分ＣＥ上にあり、点Ｈと点Ｊはそれぞれ辺ＡＢ上と辺ＢＣ上にあって、四角形ＦＧＨＪは正方形である。

点Ｋと点Ｌは線分ＨＧ上にあり、点Ｍと点Ｎはそれぞれ辺ＡＤ上と辺ＡＢ上にあって、四角形ＫＬＭＮは正方形である。

正方形ＫＬＭＮの面積が９９のとき、正方形ＦＧＨＪの面積を求めよ。」
です。

正方形ＦＧＨＪと正方形ＫＬＭＮの相似比を求め、それらの面積比が相似比の２乗の比になることを利用しましょう。

そこで図１のように、直角三角形ＣＤＥに着目すると、三平方の定理から、

になり、これから、

です。

また図２のように、△ＣＤＥ∽△ＪＦＣ∽△ＨＢＪ∽△ＮＫＨ∽△ＭＡＮです。

▲図２．△ＣＤＥ∽△ＪＦＣ∽△ＨＢＪ∽△ＮＫＨ∽△ＭＡＮです

ここで、正方形ＦＧＨＪと正方形ＫＬＭＮの辺の長さをそれぞれ２ｂと２ｃとすると、図３のように、

になります。

▲図３．必要な線分の長さをｂとｃで表しました

このとき、

で、さらに、ＡＢ＝ＢＣから、

になり、正方形ＦＧＨＪと正方形ＫＬＭＮの相似比が判りました。

後は、

から、

で、これが答えです。


簡単な問題です。