日本数学オリンピックの難しい問題（１２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨日と同じように、暖かく穏やかな天気になりました。明日も暖かくなるようですが、明後日から冷え込むようです。風邪などひかぬよう暖かくして過ごしましょう。

さて、今回は２００３年日本数学オリンピック本選に出題された図形問題を取り上げます。

問題は、
「三角形ＡＢＣの内部に点Ｐをとり、直線ＢＰと辺ＡＣの交点をＱ、直線ＣＰと辺ＡＢの交点をＲとする。
　　　　　　　　　　　　ＡＲ＝ＲＢ＝ＣＰ　かつ　ＣＱ＝ＰＱ
であるとき、∠ＢＲＣの大きさを求めよ。
　ただし、２点Ｘ、Ｙに対し、線分ＸＹの長さをＸＹで表している。」
です。

早速、図１のように、問題の図を描きましょう。

▲図１．問題の図を描きました

ここは、△ＡＢＱと線分ＣＲについて、メネラウスの定理を使うのがよいでしょう。

すると、
ＲＢ/ＡＲ・ＰＱ/ＢＰ・ＣＡ/ＱＣ＝１　　　　（１）
が成り立ちます。

このとき、
ＡＲ＝ＲＢ＝ＣＰ　かつ　ＣＱ＝ＰＱ
ですから、（１）は、
ＲＢ/ＲＢ・ＰＱ/ＢＰ・ＣＡ/ＰＱ＝ＣＡ/ＢＰ＝１
になり、したがって、図２に示すように、
ＣＡ＝ＢＰ
になります。

▲図２．ＣＡ＝ＢＰです

また、図３に示すように、△ＱＣＰが二等辺三角形なので、
∠ＱＣＰ＝∠ＱＰＣ
です。

さらに、対頂角は等しいので、
∠ＱＰＣ＝∠ＢＰＲ
で、したがって、
∠ＱＣＰ＝∠ＢＰＲ
になります。

▲図３．∠ＱＣＰ＝∠ＢＰＲです

すると、辺ＣＡと辺ＰＢ、∠ＱＣＰと∠ＢＰＲをもつ合同な三角形を作りたくなります。

そこで、図４のように、線分ＣＲ上に、ＲＳ＝ＲＢになる点Ｓをとり、△ＣＡＳと△ＢＰＲを作りましょう。

▲図４．線分ＣＲ上に、ＲＳ＝ＲＢになる点Ｓをとり、△ＣＡＳと△ＢＰＲを作りました

すると、
ＣＳ＝ＣＰ＋ＰＳ
　　＝ＲＳ＋ＰＳ
　　＝ＰＲ
になり、
△ＣＡＳ≡△ＢＰＲ　（２組の辺とその間の角が等しい）
です。

そして、合同な三角形の対応する辺の長さは等しいので、
ＡＳ＝ＲＢ　　　　　　　　　　　　　　　　　（２）
であることが判ります。

一方、仮定より、
ＡＲ＝ＲＢ
で、これと（２）から
ＡＲ＝ＲＢ＝ＡＳ
になり、△ＡＲＳは正三角形になります。

したがって、
∠ＢＲＣ＝１８０°－∠ＡＲＣ
　　　　　＝１８０°－∠ＡＲＳ
　　　　　＝１８０°－６０°
　　　　　＝１２０°
で、これが答えです。


見通しのよい問題です。