東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

整数問題(25)[筑波大附属駒場高]

2018-09-16 11:18:24 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2018年筑波大附属駒場高入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「1から50までの整数をすべてかけてできる数、1×2×3×・・・×50 をNとします。また、Nに対して、

が整数となるような正の整数aのうち、最も小さいものをmとします。次の問いに答えなさい。

(1) 50以下の素数のうち、mの約数でないものがいくつかあります。それらの素数のなかで、最も大きいものを求めなさい。

(2)
   
は、一の位から0がいくつか連続して並ぶ整数です。0は一の位から何個連続して並びますか。

(3) mの一の位の数を求めなさい。」
です。

まず、Nを素因数分解してしまいましょう。

1から50までの整数のなかの2、4、8、16、32の倍数は、それぞれ、
50÷2=25     →25(個)
50÷4=12・・・2 →12(個)
50÷8= 6・・・2 → 6(個)
50÷16=3・・・2 → 3(個)
50÷32=1・・・18→ 1(個)
なので、Nを素因数分解したときの2の指数は、
25+12+6+3+1=47
になります。

同様に、
 3の指数 → 22
 5の指数 → 12
 7の指数 →  8
11の指数 →  4
13の指数 →  3
17の指数 →  2
19の指数 →  2
23の指数 →  2
29の指数 →  1
31の指数 →  1
37の指数 →  1
41の指数 →  1
43の指数 →  1
47の指数 →  1
から、

になります。

すると、

が整数になるような正の整数aは、

になり、その最も小さいものmは、A=1の場合で、

です。

それでは(1)から片付けましょう。

50以下の素数は、
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47
で、このなかでmの約数でないものは、
3、5、7、11、23
です。

これらのなかで最も大きいものは 23 で、これが答えです。

次に(2)です。


です。

したがって、
の一の位から連続して並ぶ0の個数は で、これが答えです。

最後の(3)です。


ですから、各数とそれらの積の一の位だけに注目して計算すると、


のようになり、mの一の位の数は で、これが答えです。


簡単な問題です。

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