東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

中学生でも手が届く京大入試問題(64)

2020-03-25 10:49:41 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度京大入試問題(前期、文系)です。

問題は、
「aを奇数とし、整数m、nに対して、
  

とおく。 f(m,n)が16で割り切れるような整数の組(m,n)が存在するためのaの条件を求めよ。」
です。

mとnの偶奇を調べると、
mが偶数、nが偶数
f(m,n)のすべての項が偶数になるので、f(m,n)は偶数です

mが偶数、nが奇数
f(m,n)の

が奇数で、そのほかの項が偶数になるので、f(m,n)は奇数です

mが奇数、nが偶数
f(m,n)の

が奇数で、そのほかの項が偶数になるので、f(m,n)は奇数です

mが奇数、nが奇数
f(m,n)の+8が偶数で、そのほかの3つの項が奇数になるので、f(m,n)は奇数です
となることから、f(m,n)が16で割り切れるためには、mとnはともに偶数でなければなりません。

そこで、
m=2k  (kは整数)
n= 2l   (lは整数)
とおき、これらをf(m,n)に代入すると、

になり、f(m,n)が16で割り切れるためには、

が4で割り切れなければならないことが判ります。

そこで再度、kとlの偶奇を調べると、
kが偶数、lが偶数
Aのすべての項が偶数なので、Aは偶数です

kが偶数、lが奇数

が奇数で、そのほかの項が偶数なので、Aは奇数です

kが奇数、lが偶数

が奇数で、そのほかの項が偶数なので、Aは奇数です

kが奇数、lが奇数

の2つの項は奇数で、そのほかの項が偶数なので、Aは偶数です
となることから、Aが4で割り切れるためには、kとlは、ともに偶数、またはともに奇数でなければなりません。

ここから、(1) kとlがともに偶数の場合と(2)kとlがともに奇数の場合に場合分けして調べましょう。

(1) kとlがともに偶数の場合
k=2p
l=2q (p、qは整数)
とおき、これらをAに代入すると、

になり、Aは4の倍数ではありません。

(2) kとlがともに奇数の場合
k=2p+1
l=2q+1  (p、qは整数)
とおき、これらをAに代入すると、

になり、Aが4で割り切れるためには、a+1が4の倍数でなければなりません。

そこで、
a+1=4s → a=4s-1
m=4t+2
n=4r+2 (s、t、rは整数)
とおき、これらをf(m,n)に代入すると、

になり、f(m,n)を16で割り切るm、nが存在することが判りました。

以上から、f(m,n)が16で割り切れるような整数の組(m,n)が存在するためのaの条件は、
a=4s-1 (sは整数)
で、これが答えです。

簡単な問題です。

学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
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