東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

中学生でも手が届く京大入試問題(36)

2018-10-12 11:55:55 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成14年度京大入試問題(前期、文系)です。

問題は、
「4個の整数1、a、b、c は 1<a<b<c を満たしている。これらの中から相異なる2個を取り出して和を作ると、1+a から b+c までのすべての整数が得られるという。a、b、c の値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

与えられた不等式の各辺に、1、a、b、c を加えて、異なる2数の和の大小を調べると、
1+a<1+b<1+c              (1)
1+a<a+b<a+c              (2)
1+b<a+b<b+c              (3)
1+c<a+c<b+c              (4)
になり、(1)と(4)から
1+a<1+b<1+c<a+c<b+c      (5)
です。

ここで(2)と(5)から、 a+b は(5)の不等式の左側から1、2、3番目の不等号の位置に置くことが可能で、また(3)と(5)から、 a+b は(5)の不等式の左側から2、3、4番目の不等号の位置に置くことが可能です。

したがって、 a+b は(5)の不等式の左側から2番目と3番目に置くことが可能で、それらはそれぞれ、
1+a<1+b<a+b≦1+c<a+c<b+c  (6)
1+a<1+b<1+c≦a+b<a+c<b+c  (7)
になります。

● (6)の場合
1+a+1=1+b ⇒ a-b=-1       (8)       
1+b+1=a+b ⇒ a=2           (9)
     
a+b=1+c ⇒ a+b-c=1        (10)
または
a+b+1=1+c ⇒ a+b-c=0     (11)
です。
         
・(8)(9)(10)から
b=3、c=4
で、
・(8)(9)(11)から
b=3、c=5
です。

したがって、条件を満たすa、b、c の組合せ(a,b,c)は、(2,3,4)、(2,3,5)になります。

● (7)の場合
1+a+1=b+1 ⇒ a-b=-1      (12)
1+b+1=1+c ⇒ b-c=-1      (13)

1+c=a+b ⇒ a+b-c=1       (14)
または
1+c+1=a+b ⇒ a+b-c=2     (15)
です。

・(12)(13)(14)から
a=2、b=3、c=4
で、
・(12)(13)(15)から
a=3、b=4、c=5
です。

したがって、条件を満たす(a,b,c)は、(2,3,4)、(3,4,5)になります。

以上から、(2,3,4)、(2,3,5)、(3,4,5)が答えになります。


簡単な問題です。

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