組合せの問題（２２）

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２００７年ＡＩＭＥの組合せの問題です。

問題は、
「６行４列のマス目があり、この２４個のマスのうち１２個のマスに色を塗ることを考える。

ここで、各行の２マスと各列の３マスを着色する塗り方をＮとするとき、Ｎを１０００で割った余りを求めよ。」
です。

図１のように、１行４列のマス目の色の塗り方をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆとし、これらの６個の並べ方を勘定します。

▲図１．１行４列のマス目の色の塗り方をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆとしました

① Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆをそれぞれ１個選ぶ場合
例えば図２のよう並べるとき、各行の２マスと各列の３マスに色が塗られ、これは条件を満たします。

▲図２．Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆをそれぞれ１個選んだ例です

このとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆの順番は任意なので、①の並べ方は、
６！＝６×５×４×３×２×１＝７２０（通り）
です。

② Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆのうち同じものを２個を選ぶ場合
例えば図３のように並べるとき、各行の２マスと各列の３マスに色が塗られ、これは条件を満たします。

▲図３．Ａを２個選んだ例です

このとき、Ａ、Ｂ、Ｃのいずれかを２個選ぶとそれぞれに対してＦ、Ｅ、Ｄが２個選ばれ、それらのそれぞれの組に対して残りの選び方が２通りになります。

したがって、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆから６個選んだもののなかに同じものが２個ある選び方は、

です。

さらに、６個のうち同じものが２個ずつ２種類ある並べ方は、

なので、②の並べ方は、
６×１８０＝１０８０（通り）
です。

③ Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆのうち同じものを３個選ぶ場合
例えば図４のように並べるとき、各行の２マスと各列の３マスに色が塗られ、これは条件を満たします。

▲図４．Ａを３個選んだ例です

このとき、Ａ、Ｂ、Ｃのうちいずれかを３個選ぶとそれぞれに対してＦ、Ｅ、Ｄが３個選ばれます。

したがって、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆから６個選んだもののなかに同じものが３個ある選び方は、

です。

さらに、６個のうち同じものが３個ずつ２種類ある並べ方は、

なので、③の並べ方は、、
３×２０＝６０（通り）
です。

以上から、すべての選び方は、
７２０＋１０８０＋６０＝１８６０（通り）
になり、これを１０００で割った余りは ８６０ で、これが答えです。

簡単な問題です。

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