東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

組合せの問題(22)

2020-11-24 09:41:53 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2007年AIMEの組合せの問題です。

問題は、
「6行4列のマス目があり、この24個のマスのうち12個のマスに色を塗ることを考える。

ここで、各行の2マスと各列の3マスを着色する塗り方をNとするとき、Nを1000で割った余りを求めよ。」
です。

図1のように、1行4列のマス目の色の塗り方をA、B、C、D、E、Fとし、これらの6個の並べ方を勘定します。


▲図1.1行4列のマス目の色の塗り方をA、B、C、D、E、Fとしました

① A、B、C、D、E、Fをそれぞれ1個選ぶ場合
例えば図2のよう並べるとき、各行の2マスと各列の3マスに色が塗られ、これは条件を満たします。


▲図2.A、B、C、D、E、Fをそれぞれ1個選んだ例です

このとき、A、B、C、D、E、Fの順番は任意なので、①の並べ方は、
6!=6×5×4×3×2×1=720(通り)
です。

② A、B、C、D、E、Fのうち同じものを2個を選ぶ場合
例えば図3のように並べるとき、各行の2マスと各列の3マスに色が塗られ、これは条件を満たします。


▲図3.Aを2個選んだ例です

このとき、A、B、Cのいずれかを2個選ぶとそれぞれに対してF、E、Dが2個選ばれ、それらのそれぞれの組に対して残りの選び方が2通りになります。

したがって、A、B、C、D、E、Fから6個選んだもののなかに同じものが2個ある選び方は、

です。

さらに、6個のうち同じものが2個ずつ2種類ある並べ方は、

なので、②の並べ方は、
6×180=1080(通り)
です。

③ A、B、C、D、E、Fのうち同じものを3個選ぶ場合
例えば図4のように並べるとき、各行の2マスと各列の3マスに色が塗られ、これは条件を満たします。


▲図4.Aを3個選んだ例です

このとき、A、B、Cのうちいずれかを3個選ぶとそれぞれに対してF、E、Dが3個選ばれます。

したがって、A、B、C、D、E、Fから6個選んだもののなかに同じものが3個ある選び方は、

です。

さらに、6個のうち同じものが3個ずつ2種類ある並べ方は、

なので、③の並べ方は、、
3×20=60(通り)
です。

以上から、すべての選び方は、
720+1080+60=1860(通り)
になり、これを1000で割った余りは 860 で、これが答えです。


簡単な問題です。

学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
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