東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

整数問題(11)[灘高]

2018-01-08 11:04:54 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、2017年灘高入試に出題された整数問題を取り上げます。

問題は、
「次の[ ]内に適する数または式を記入せよ。

連立方程式
4x- y-  z=0
5x-2y+10z=0
を満たす自然数x、y、zで、それらの最小公倍数が360であるようなものを求めると、
x=[ ]、y=[ ]、z=[ ]
である。」
です。

与えられた連立方程式からyを消去して、xとzの関係式を導きましょう。

1つ目の式の両辺を2倍して、
8x-2y-2z=0
とし、2つ目の式の辺々を引くと、
3x-12z=0
で、これから、
x=4z      (1)
です。

続いて、xを消去して、yとzの関係式を導きましょう。

1つ目の式に(1)を代入すると、
4×4z-y-z=0
で、これから、
y=15z     (2)
です。

(1)、(2)から、x、y、zの最小公倍数は、4z、15z、zの最小公倍数で、これが360ということは、
4×15×z=360
が成り立ち、
z=6
になります。

これを(1)、(2)に代入して、
x=24
y=90
です。

以上から、x=24、y=90、z=6 で、これが答えです。


簡単な問題です。

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