東久留米 学習塾 塾長ブログ

東京都東久留米市滝山の個別指導型学習塾「学研CAIスクール 東久留米滝山校」塾長白井精一郎のブログ

中学入試問題R2(11)[筑波大附属駒場中]

2020-02-10 11:21:45 | 数学・算数の話
こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、令和2年度筑波大附属駒場中の問題です。

問題は、
「100から199までの100個の整数から1つ選び、それを「もとの数」と呼びます。「もとの数」の各桁の数字を入れかえてできる数と「もとの数」のうち、たがいに異なるものの和を「合計数」と呼びます。ただし、百の位が0となるものは2桁の数、百の位と十の位がともに0となるものは1桁の数として和を考えます。

例えば、
「もとの数」が100のとき、「合計数」は100、10、1の和で、111になります。
「もとの数」が101のとき、「合計数」は101、110、11の和で、222になります。
「もとの数」が111のとき、入れかえても111だけなので、「合計数」は111になります。

このとき、選んだ「もとの数」と「合計数」との関係は次の表のようになります。



次の問いに答えなさい。

(1) 「もとの数」が105のとき、「合計数」を求めなさい。
(2) 「合計数」が999となるような「もとの数」があります。そのような「もとの数」をすべて答えなさい。
(3) 「合計数」が72020より大きくなる「もとの数」が7あります。そのような「もとの数」は何個ありますか。」
です。

初めに、「もとの数」を 100+10a+b として、これと「合計数」Sの関係を調べると、

① a≠1,b≠1,a≠b のとき
S= (100+10a+b)+(100+10b+a)
  +(100a+10×1+b)+(100a+10b+1)
  +(100b+10a+1)+(100b+10×1+a)
 =200(1+a+b)+20(1+a+b)+2(1+a+b)
 =(200+20+2)(1+a+b)
 =222(1+a+b)

② a=1,b≠1 のとき
S= (100+10×1+b)+(100+10b+1)
  +(100b+10×1+1)
 =100(2+b)+10(2+b)+(2+b)
 =(100+10+1)(2+b)
 =111(2+b)

③ a≠1,b=1 のとき
S= (100+10a+1)+(100+10×1+a)
  +((100a+10×1+1)
 =100(2+a)+10(2+a)+(2+a)
 =(100+10+1)(2+a)
 =111(2+a)

④ a=b,a≠1,b≠1 のとき
S= (100+10a+a)
  +(100a+10×1+a)+(100a+10a+1)
 =100(1+2a)+10(1+2a)+(1+2a)
 =(100+10+1)(1+2a)
 =111(1+2a)

になります。

それでは、(1)から始めましょう。

「もとの数」が105のとき、これは①に当てはまるので、S=222(1+a+b)に a=0、b=5 を代入すると、
S=222(1+0+5)=222×6=1332
です。

したがって、「合計数」は 1332 で、これが答えです。

次に(2)です。

「合計数」が999になるときの a、bを、①から④のそれぞれの場合について調べていきます。

①の場合
S=222(1+a+b)=999
になりますが、左辺が偶数、右辺が奇数なので、これをみたす整数a、bはありません。

したがって、「合計数」が999になるような「もとの数」はありません。

②の場合
S=111(2+b)=999
から、
2+b=9 → b=7
です。

したがって、「合計数」が999になるような「もとの数」は 117 です。

③の場合
S=111(2+a)=999
から、
2+a=9 → a=7
です。

したがって、「合計数」が999になるような「もとの数」は 171 です。

④の場合
S=111(1+2a)=999
から、
1+2a=9 → a=4
です。

したがって、「合計数」が999になるような「もとの数」は 144 です。

以上から、「合計数」が999となるような「もとの数」は 117、144、171 で、これが答えです。

最後の(3)です。

(2)と同じように、「合計数」が2020より大きくなるときの a、bを、①から④のそれぞれの場合について調べていきましょう。

①の場合
S=222(1+a+b)>2020
から

で、これから、
9-a≦b
になり、このとき、0≦b≦9 から
9-a≦b≦9    (★)
が成り立ちます。

そこで、(★)をみたすa、bの組を a≠1、b≠1、a≠bに注意して勘定すると、
・ a=0 のとき、9≦b≦9 から1個
・ a=2 のとき、7≦b≦9 から3個
・ a=3 のとき、6≦b≦9 から4個
・ a=4 のとき、5≦b≦9 から5個
・ a=5 のとき、4≦b≦9 かつ b≠5 から5個
・ a=6 のとき、3≦b≦9 かつ b≠6 から6個
・ a=7 のとき、2≦b≦9 かつ b≠7 から7個
・ a=8 のとき、1≦b≦9 かつ b≠1,8 から7個
・ a=9 のとき、0≦b≦9 かつ b≠1,9 から8個
になります。

したがって、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」の個数は、合計 1+3+4+5+5+6+7+7+8=46(個)です。

②、③の場合
S=111(2+b)>2020
から

です。

ここで bは、0≦b≦9 をみたす整数なので、条件をみたすbはありません。

したがって、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」はありません。

③も同様、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」はありません。

④の場合
S=111(1+2a)>2020
から

です。

ここで aは、0≦a≦9 をみたす整数なので、
・ a=9 のとき、b=9 から1個
になります。

したがって、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」の個数は、1(個)です。

以上から、「合計数」が2020より大きくなる「もとの数」の個数は 4647(個)で、これが答えです。


簡単な問題です。

学研CAIスクール 東久留米滝山校
https://caitakiyama.jimdo.com/
TEL 042-472-5533
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